Медицинская статистика

Медицинская  статистика 

№6 

2011 

Анализ выживаемости

Анализ  выживаемости - статистический анализ, разработанный для изучения, оценки и сравнения времени, прошедшего до наступления некоторого события (появления метастазов, выздоровления, гибели, обострения заболевания). 

Возможные  формулировки задач:

- Построить  таблицу времени появления метастазов  группы пациентов получающих  химиотерапию.

Аналитическая  задача:

• Сравнить по времени появления метастазов две группы пациентов:
• группу, получающую химиотерапию и  
• группу, получающую комбинированную терапию. 

 

Основные  цели и задачи  анализа выживаемости

Выживаемость S(t) (Survive) – вероятность «прожить» время большее t с момента начала наблюдения.  

Таким  образом, выживаемость – это вероятность ненаступления события до некоторого момента времени. 

S(t) =  P(T>t) = 1-P(T<t),  

    где P(T>t) – вероятность «пережития» времени t.

           

      ( 1-P(T<t) - единица минус вероятность «дожития» до момента t ) 
 

События  могут быть различные, не только  гибель объекта… 

Основные  понятия анализа  выживаемости 

Свойства  функции S(t) 

1. S(t)=1 Если t=0: В самом начале исследования ожидаемое событие не произошло ни у кого из наблюдаемых. Вероятность “дожития” до этого момента равна 1.  

2. S(t)=0 Если t=бесконечности: В конце исследования событие произошло у всех наблюдаемых. Вероятность “дожития” до этого момента = 0.  

График  функции S(t) – кривая выживаемости отражает вероятность пережить любой из моментов времени t.  

График  описывает зависимость вероятности “дожития” от времени.  

Время  может измеряться в любых известных  единицах (дни, месяцы и др).  

График  может быть крутым, тогда говорят, что выживаемость низкая, т.е. ожидаемое событие наступило быстро у всех испытуемых.  

График  может быть пологим, тогда выживаемость – высокая, т.е. потребовалось много времени, чтобы ожидаемое событие наступило у всех испытуемых. 

График  функции выживаемости

Кривая  выживаемости используется, в частности, для определения медианы выживаемости и других процентилей времени жизни.  

Время, до которого доживет половина испытуемых, называется медианой выживаемости.  

Если  событие не наступило у половины  испытуемых вообще, то медиану  определить невозможно, тогда определяют, время, до которого “дожили” (т.е. событие не наступило) три четверти всех испытуемых (75%). 

При  сравнении двух кривых и более, по медиане можно  оценить выживаемость  в разных группах. 
 

Кривая  выживаемости

0.5 

t_¹ 

t_² 

Кривая  выживаемости 

Медианы  кривой выживаемости 

Кривая 1

Кривая 2

Кривая 3 

1 

Время (t) 

S(t) 

Выживаемость 

0 

0.75

Данные, включенные в исследование, могут быть цензурированными и нецензурированными.  

Исследование  называется полным, если все данные нецензурированные. 

Типы  данных в анализе  выживаемости 

Данные (наблюдения) 

Цензурированные (неполные) 

Нецензурированные (полные)

1. По истечении времени эксперимента объекты исследования уничтожается, им  присваивается длительность «жизни», равная продолжительности эксперимента. 

2. По достижении появления события у необходимого количества объектов (например, половины), остальные объекты исследования уничтожается 

3. Объект может исчезнуть из поля зрения исследователя, тогда продолжительность его жизни вычисляется как длительность его участия в эксперименте: от его появления в эксперименте до исчезновения.  

Для объектов, у которых событие так и не наступило после окончания исследования, время «жизни» вычисляется от их появления в эксперименте до окончания исследования.  

Типы цензурированных (неполных)  данных

Если  объекты в процессе исследования  не выбывают (т.е. все данные цензурированные, полные), то оценка выживаемости  S(t) определяется как отношение  числа переживших момент t к объему  выборки n. (т.е. по классической формуле  вероятности).  

Для  построения кривой выживаемости  создают таблицы времени жизни. 

Есть  несколько способов построения  таблиц времени жизни, например: методы Катлера-Эдерера и Каплана-Мейера.  

Метод Катлера-Эдерера – применяют для больших наборов данных.

В этом  случае время разбивается на интервалы. 

Метод Каплана-Мейера – применяют для малых выборок

В этом  случае фиксируются моменты, в которые произошло хотя бы одно событие.  

Таблицы времени жизни

Время эксперимента  разбивается на “моменты”.

На каждом  моменте вычисляется доля «переживших» данный момент.

Доля вычисляется  как 

единица минус  отношение числа испытуемых (dt), «переживших» данный момент к числу всех испытуемых, которые наблюдались до этого момента.

Доля  переживших момент t: qi=(1- dt/nt) 

Построение  таблицы времени  жизни 

Доля  давших событие 

Метод Каплана-Мейера

 (Кумулятивная) выживаемость на исследуемом моменте есть произведение доли переживших этот момент и выживаемости, полученной на предыдущем моменте.

  
 

где d_^ti – число умерших на момент t_ⁱ, n_^ti – число наблюдавшихся к моменту ti;  

Символ  П означает, что нужно перемножать  значения  (1-d_^t/n_^t) для всех моментов времени, когда произошло хотя бы 1 событие за период от 0 до t. 

Полученные  результаты расчетов представляют  в виде таблиц и в виде  графиков 

Построение  таблицы времени  жизни

Пример:

3,  5, 6+, 7, 7, 8, 9+, 11, 12,  12

Проводилось  исследование нового препарата, профилацирующего приступы стенокардии  на 10 пациентах. Были получены следующие  данные: 8 пациентов дало приступ  стенокардии на 3, 5, 7 (2 пациента), 8, 11, 12 (двое) день после начала исследования. Кроме того, 1 пациент на 6 день  перехал в другой город, и еще  один пациент на 9 день погиб  в автокатастрофе (эти данные - цензурируемые). 

Решение:

1. Определить,  что будет являться ожидаемым  событием: приступ стенокардии

2. Определить  единицу времени: 1 день

3. Определить  моменты: 3, 5, 7, 8, 11, 12 

Построение  таблицы времени  жизни по методу 

Каплана-Мейера  

0.66

Результаты, полученные в таблице, представляют  в виде графика (кривой выживаемости): 

Сравнение  кривых выживаемости 

2010

Построение  таблицы времени  жизни по методу 

Катлера -Эдерера