Зависимые независимые числа

     Два или несколько событий называются зависимыми, если появление одного из них влияет на вероятность наступления других. 

     Два или несколько событий называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, имели ли место другие события. 

     События, называются совместными, если появление одного из них в данном опыте не исключает возможность появления других. 

     События, называются несовместными, если появление какого-нибудь одного из них в данном опыте исключает возможность появления других.

     Пример - выпадение 3 и 5 вместе при однократном бросании монеты. 

     Произведением нескольких событий называется событие, состоящие в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания. Обозначают A×B, AÇB, AиB.

     Суммой двух событий A₁ и A₂ - называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

A = A₁ + A₂ 

     Знаком  плюс обозначается связка «или». 

Гипотезы Н₁ , Н₂ ,…,Н_n – это события, в условиях которых только и может появиться событие A. 

     Вычисляя  вероятность события A, выдвигаем различные предположения (гипотезы), относительно обстоятельств, которые могут привести к событию A . 

     Определение. Априорные гипотезы – это гипотезы, полученные до предстоящего опыта, апостериорные гипотезы - это гипотезы, полученные после опыта. 

     Теорема Полная вероятность события A равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности событий, вычисленные соответственно при каждой из гипотез. 
 
 
 

где Н₁ , Н₂ ,…,Н_n – совокупность гипотез, образующих полную группу событий. 

     Формула полной вероятности  события

     Доказательство.

     Пусть A - событие, вероятность которого надо вычислить. Полагаем, что это гипотезы 

Н₁, Н₂, …, Н_n несовместимы, а их совокупность охватывает всевозможные события, каждое из которых может привести к появлению события A, т.е. они образуют полную группу несовместимых событий. Следовательно, P(H₁)+ P(H₂ )+KP(H_n)=1, где P (H1) , P(H 2) , … , P(H_n )- вероятности соответствующих гипотез.

     Найдем  полную вероятность события А. Событие А может наступить только вместе с одним из событий Н₁ , Н₂ ,…,Н_n. Вероятность наступления гипотезы H₁ и вместе с ним события А на основании теоремы умножения равна

 P (H₁ и A) = P (H₁) × P(A/H₁)

Но событие  А может наступить, вместе с событием H₂ . И тогда

P (H₂ и A) = P (H₂) × P(A/H₂)

и т.д.

     Для определения полной вероятности  события  А применяем теорему сложения вероятностей несовместных событий.

P(A) = P(H₁ и A)+ P(H₂ и A)+K+ P(H_nи A). 

Заменяя слагаемые  их значениями, получим 
 
 

     Формула Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза), имея на руках лишь косвенные тому подтверждения (данные), которые могут быть неточны.

       Полученную по формуле вероятность  можно далее уточнять, принимая  во внимание данные новых наблюдений.

     Формула Байеса применяется, когда событие  А, которое может появиться только с одной из гипотез Н₁ , Н₂ ,…,Н_n, образующих полную группу событий, произошло, и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез, т.е. найти апостериорные условные вероятности .

     Рассмотрим  полную группу несовместных событий  Н₁ , Н₂ ,…,Н_n, вероятности появления которых P(H₁), P(H₂ ),KP(H_n) известны. Событие А может наступить только вместе с каким-либо из событий Н₁ , Н₂ ,…,Н_n . Вероятность появления события А по формуле полной

вероятности определяется как  
 
 

     Пусть событие А произошло, тогда это изменит вероятности гипотез P(H₁), P(H₂ ),KP(H_n)

Определим теперь условные вероятности осуществления  этих гипотез в предположении, что  событие А произошло: : : Учитывая, что

 =, получим 
 

Аналогично можно  найти апостериорные вероятности  остальных гипотез, используя общую  формулу  
 

где k=1,2, …, n 

     Формула называется – формулой Байеса. Значение формулы Байеса состоит в том, что при

наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Это дает возможность корректировать управленческие решения в экономике, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе.