Занимательные и полезные свойства натуральных чисел

 

 

 

 

ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ И ПОЛЕЗНЫЕ СВОЙСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

 

Исполнитель:

Козырев Владислав

5 «А» класс ГУО «Средняя школа №6»

Руководитель:

Ковалева Галина Леонидовна,

учитель математики 

 

 

 

 

Цели:

 

• Познакомиться с историческим материалом.
• Рассмотреть некоторые любопытные свойства натуральных чисел.
• Изучить некоторые способы проверки вычислений
• Изучить и научиться применять приёмы устного счета

 

 

 

 

 

Структура работы

 

• Вступление «Числа правят миром»

      Цели и задачи исследования                                            

2. Основная часть

• Исторический материал                                          
• Занимательные свойства
• натуральных чисел                                                  
• Проверка действий                                                 
• Некоторые приемы быстрого счета
• Анализ результатов работы                                  

3. Литература 

 

 

 

 

Возьмем любое четырехзначное  число, например 2519,

и расставим его цифры сначала  в порядке убывания,

а потом в порядке возрастания: 9521 и 1259. Из большего числа вычтем  меньшее: 9521 —1259=8262. С полученным  числом проделаем то же самое 

8622—2268=6354. И еще один такой  же шаг: 6543 — 3456=3087. Далее,  8730 — 0378=8352, 8532- 2358=6174. Вам  не надоело вычитать? Сделаем  все же еще один шаг: 7641  — 1467=6174. Снова получилось 6174.

 

Одно из занимательных свойств натуральных чисел 

 

 

 

 

Проверка действий 

 

Предположим, что при умножении 27 на 48 ученик получил 

ответ 11 016 вместо 1296.

Чтобы обнаружить ошибку, можно рассуждать так.

 Число 27 больше, чем 20, а число 48 больше, чем 40.

Значит, их произведение должно быть больше, чем 20*40=800.

С другой стороны, 27 меньше, чем 30, а 48 меньше, чем 50.

Поэтому их произведение должно быть мень­ше, чем 30*50=1500.

Так как у нас получилось куда больше, чем 1500, значит,

 где-то сделана ошибка.

 

 

 

 

Устный счет 
Умножение на 125 

 

Чтобы устно умножить число на 125, умножают его на 1000 (при­писывают три нуля) и затем делят на 8.

Пример:

64 • 125 = 64 • 1000 : 8 = 64000 : 8 = 8000.

• Некоторые из приведенных примеров удобно вычислять следующим  способом:

38• 15 = 38 • 5 • 3  = 190 • 3 = 570,

46•125 = 46•5•25 = 230•25 = 230•5•5 = 1150•5 = 5750.

 

 

 

 

Умножение на 9, 99, 999

 

Чтобы устно умножить число на 9, 99, 999 приписывают к нему ноль, два нуля или три нуля и отнимают множимое.

Примеры:

• 52 • 9 = 520 - 52 = 500 - 32 = 468,
• 63 • 9 = 630 - 63 = 600 - 33 = 567,
• 523•99 = 52300 - 523 = 52000 - 223 = 51777,
• 251•999 = 251000 - 251 = 250800 - 51 = 250749.

 

 

 

 

Умножение на 11 

 

При умножении числа на 11 можно применять два способа вычисле­ний:

•  Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое.

    Пример: 197•11 = 1970 + 197 = 2167.

2.  При умножении двузначных чисел на 11, следует «раздвинуть» цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

• Примеры: 34 • 11 = 374, так как 3 + 4 = 7, семерку помещаем между тройкой и четверкой;
• 68 • 11 = 748, так как 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.

 

 

 

 

Умножение трехзначных чисел на 11 

 

Данный способ рассмотрим на примере:

• умножим 146 на 11.
• запишем цифру сотен в ответ в качестве цифры тысяч;
• сложим десятки и сотни и запишем полученный результат цифрой сотен в ответ, 4 + 1 = 5;
• сложим единицы и десятки и запишем полученный результат циф­рой десятков в ответ, 4 + 6 = 10, в данном случае цифрой десятков будет 0, а 1 прибавим к числу сотен;
• цифру единиц перепишем в ответ. 
  Значит, 146*11 = 1606.

 

 

 

 

Умножение двузначного  
числа на 111

 

 

Данный способ похож на умножение двузначного числа на 11. Находим сумму цифр двузначного числа. Раздвинем цифры этого двузначного числа и дважды запишем сумму цифр. Пример: 27*111 = 2997.

• Если сумма цифр двузначного числа больше 10, то цифрой десятков записываем цифру единиц полученной суммы, а цифры сотен и тысяч увеличим на 1.
• Пример:
• 78*111 = 8658.

 

 

 

 

Умножение числа 37 

 

Запомнив, что 37*3 = 111, легко выполнять устно умножение чис­ла 

37 на 6, 9, 12 и т. д. 

37*6 = 37* 3* 2 = 222,

37*9 = 37*3*3 = 333, 

37*12 = 37*3* 4 = 444, 

37* 15 = 37*3*5 = 555 и т. д.

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Умножение двузначного числа на 101, 
трехзначных чисел на 1001,  
четырехзначных - на 10001 и т. д. 

 

• Дважды запишите данное число. Умножение закончено.

Пример:

63* 101 = 6363.

• Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, че­тырехзначных - на 10001 и т. д.

Примеры:

463*1001 = 463463,

42 * 1001 = 042 *1001 = 042042  = 42042

7231*10001 = 72317231.

 

 

 

 

Возведение чисел в квадрат.

 

• Пусть двузначное число кончается цифрой 5. Тогда для возведения этого числа в квадрат надо умножить цифру десятков на сле­дующую за ней цифру, а 5 возвести в квадрат и приписать результат 25 после полученного произведения.
• Например,

35 2 = 1225 (так как 3*4 = 12),

 а 852=7225 (так как 8*9=72).

 

 

 

 

Анализ работы 

 

• Я с большим интересом изучил этот вопрос, узнал некоторые исторические сведения о натуральных числах.
• Я научился использовать некоторые свойства чисел для показа математических фокусов.
• Но самое главное, на мой взгляд, я изучил некоторые приемы устного счета.
• На достигнутым я не остановлюсь, так как навыки устного счета мне помогут избегать вычислительных ошибок  и экономить время на вычислениях при выполнении различных заданий, особенно контрольного характера.

 

 

 

 

Литература

 

• Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с.
• Считай с умом /сост. Н.В.Золоторева  - Минск: Белорус. Асоц. «Конкурс», 2010.- 48с.
• Перельман Я.И. Занимательная алгебра: Издательство «Наука» -Москва, 1970.-200с.