Задачи по "Теории вероятности"

Федеральное агентство по образованию РФ

ГОУ ВПО  Уральский государственный экономический университет

Центр дистанционного образования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

 

по дисциплине: «Теория вероятности»

на тему:              «Контрольная работа»

вариант               № 2

 

 

 

 

 

 

 

                                                                  Выполнил:         Викулова Н.В.

                                                                                                                                  (И.О. Фамилия)

                                                       гр.  УК-10Кт

 

                                                             Проверил:           Зубова С.Н.

                                                                                                                 (И.О. Фамилия )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Краснотурьинск

2011

Контрольная работа №1

 

№1. Имеется две урны. В первой урне а белых и b черных шаров, во второй c белых и d черных шаров. Из каждой урны вынимается по одному шару. Какова вероятность, что они будут белыми?

Решение: Если из этих n единственно возможных, несовместных и равновозможных случаев m случаев благоприятствуют наступлению события А, то вероятностью события А является отношение m к n:

.

В данном случае вероятность вынуть белый  шар из первой урны составляет:

;

Вероятность вынуть белый шар из второй урны составляет:

Т.к. извлечение шаров из урн события независимые  и совместные, то вероятность их совместного появления равна  произведению вероятностей:

 

№2. 12 рабочих получили путевки в 4 дома отдыха: трое – в первый дом отдыха, трое – во второй, двое – в третий и четверо – в четвертый дом отдыха. Найти вероятность того, что данные двое рабочих попадут в один дом отдыха.

Решение: Очевидно, оба рабочих могут попасть вместе в первый, во второй, в третий или в четвёртый дом отдыха.

Так как всего рабочих n = 12, а в первый дом отдыха получили путёвки m₁= 3 рабочих, то вероятность любому рабочему попасть в первый дом отдыха составит:

Вероятность второму рабочему попасть в этот же дом отдыха (осталось m₁ – 1 = 2 путёвки на n – 1 = 11 рабочих) составляет:

Вероятность этим рабочим попасть вместе в  этот дом отдыха определится произведением  вероятностей:

По аналогии для второго, третьего и четвёртого дома отдыха получим:

Т.к. данные события несовместны (они могут  попасть только в один дом отдыха вместе), то вероятность попасть  им вместе в какой-нибудь из 4 домов  отдыха, определится суммой вероятностей:

 

№3. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрыша. Некто приобрел 2 билета. Найти вероятность, что он 1) выиграет хотя бы по одному билету, 2) выиграет по одному билету – деньги, а по другому – вещи.

Решение:

1. Так как выигрышей всего m = 34, то проигрышных билета:

k = n – m = 1000 – 34 = 966.

Вероятность проигрыша по обоим билетам составит:

Тогда вероятность  обратного события – выиграть хотя бы по одному билету – определится:

2. Выиграть деньги или вещь можно как по первому, так и по второму билету с равной вероятностью, поэтому вероятность выиграть по одному билету деньги, а по второму вещь составит:

 

№4. В сборочный цех завода поступили детали с 3-х автоматов. 1-ый автомат дает 3 % брака, 2-й – 1 %, 3-ий – 2%. Определить вероятность попадания на сборку бракованной детали, если в цех поступило 500 деталей от 1-го автомата, 200 от 2-го и 300 от 3-го.

Решение:

 Событие А – на сборку попала бракованная деталь.

Гипотеза H₁ – деталь сделана первым автоматом.

Гипотеза H₂  – деталь сделана вторым автоматом.

Гипотеза H₃  – деталь сделана третьим автоматом.

Вероятность этих гипотез – отношение числа  деталей, изготовленных каждым автоматом  к общему числу деталей на сборке:

Вероятность брака детали с каждого автомата р_Hi(A) можно оценить величиной:

Тогда по формуле полной вероятности, вероятность  попадания на сборку бракованной  детали можно оценить формулой:

 

_{№5. В специализированную больницу поступают в среднем 70% больных с заболеванием К, а остальные – с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,8, болезни М – 0,9. Больной поступивший в больницу, был выписан здоровым. Какова вероятность, что он болел болезнью К?}

_{Решение: Обозначим через А событие – больной выписан здоровым. Можно сделать два первоначальных предположения В₁  - больной страдает заболеванием К, В₂  - больной страдает заболеванием М. По условию, с заболеванием К поступает 70% больных, с заболеванием М – 30% больных, поэтому, вероятность каждой из гипотез равна}

_{Р(В₁) =7/10; Р(В₂) = 3/10}

_{Условная  вероятность того, что будет выписан  больной, если он страдал  заболеванием К, равна  Рв₁ (А) = 0,8, заболеванием М, равна Рв₂ (А) = 0,9. Вероятность того, что больной выписан здоровым, по формуле полной вероятности равна:}

P(A)=P(B1)·PB1(A)+P(B2)·PB2(A) = · 0,8 + · 0,9 = · + · =

= 0,56 + 0,27 = 0,83

Определим вероятность того, что выписанный больной страдал заболеванием К, по формуле Байеса:

PA (B1) = = = 0,67.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа №2

 

Задание 1. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

 

№1.В урне 4 шара, на которых указаны очки 2; 4; 5; 5. Наудачу вынимается шар. Найти закон распределения случайной величины Х – числа очков на нем. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Решение:

Вынимается только один шар, поэтому число очков на нём  может оказаться равным 2 или 4 или 5.

Так как всего в урне 4 шара и только на одном из них указано 2 очка, то вероятность появления шара с двумя очками равна р₁ = 1/4 = 0,25.

Вероятность появления шара с 4 очками очевидно та же р₂ = 0,25, а вероятность появления шара с 5 очками равна р₃ = 2/4 = 5.

Т.о. закон распределения  случайной величины Х – числа  очков на шаре в табличной форме  запишется в виде:

Х	2	4	5
р(х)	0,25	0,25	0,5

Математическое ожидание можно определить по формуле:

М(х) = = 2∙0,25 + 4∙0,25 + 5∙0,5 = 4;

Дисперсия: 

D(х) = М(х²) – [М(х)]² = 0,25∙2² + 0,25∙4² + 0,5∙5² – 4² = 17,5 – 16 = 1,5;

Среднеквадратическое отклонение:

 

 

 

Задание 2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (α,β). Построить графики функций F(X) и f(X).

 

Решение:

1. Плотность распределения f(x) есть первая производная от функции распределения:

         Поэтому: 

2. Математическое  ожидание определится интегралом:

3. Дисперсия  определится интегралом:

4. Так как заданный интервал (0,5; 1,5) входит в интервал функции распределения 1 < x < 2 то, используя формулу: ,  получим:

Графики F(x) и f(x) имеют вид: