Вычислительная математика

   S = Ах₁ + Вх₂ + С = 0,5

1) 0х₁+0,3х₂-1≥0

2) -0,2х₁+0х₂+1,4≥0;

3) 0х₁+0,1х₂-1≤0;

4) -0,2х₁+0х₂+0,2≤0; 

в). Подставляем  в полученные неравенства координаты точки (5;5). 

 Если  хотя- бы одно неравенство не  выполняется, то объект неработоспособен. 

1) 0*5+0,3*5-1≥0 – верно;

2) -0,2*5+0*5+1,4≥0 – верно;

3) 0*5+0,1*5-1≤0 - верно;

4) -0,2*5+0*5+0,4≤0 - верно; 

Следовательно объект работоспособен. 

1.3. Основные операции над многомерными матрицами

     1.3.1. Умножение ММ на скаляр

     Каждый  элемент матрицы умножается на скаляр.              

         С помощью мультииндексов это можно представить в виде

      * ={ }.

     1.3.2. Сложение многомерных матриц

     Суммировать (вычитать) можно только такие матрицы, которые имеют одинаковые размерности, структуру и размеры. При этом суммирование осуществляется поэлементно:

     если C (p,q)=A(p,q)+B(p,q) , то + .

     1.3.3. Транспонирование ММ

     Операция  обозначается верхним индексом «Т»  и заключается в замене структуры индексов на противоположную и в последующем упорядочении индексов в соответствии с правилами помечивания. Например, если

A=A(1,2)= {

},  то  B=A^T=B(2,1)= { },

так что  =     .

     Структурные числа многомерной матрицы при  транспонировании меняются местами: [A(p,q)]^T=[B(q,p)].

     1.3.4. Свернутое произведение многомерных матриц

     Оно образуется по следующим правилам.

     1. Столбцовые индексы сомножителей  или преобразуются (свертываются), или сохраняют свой порядок.

     2. Строчные индексы или свертываются, или, сохраняя порядок в отдельных сомножителях, представляются обратно порядку следования сомножителей.

     3. Все несвернутые индексы упорядочиваются  в соответствии с правилами помечивания.

     4. Свертка индексов производится  тогда и только тогда, когда  первый сомножитель содержит строчные индексы, а второй – столбцовые и размеры соответствующих индексов (столбцового и строчного) совпадают.

     5. Свертка строчных индексов первого  сомножителя по столбцовым индексам второго сомножителя производится в соответствии с их естественным порядком: первый строчный индекс первого сомножителя свертывается с первым столбцовым индексом второго сомножителя, второй – со вторым и т.д.

     6. Свертка двух индексов заключается в том, что элемент результата образуется путем суммирования произведений элементов сомножителей по свернутому индексу. При этом два свернутых индекса обозначаются одинаково и теряют свою структуру. В индексном представлении многомерных   матриц   над   свернутыми   индексами  целесообразно ставить знак ^о, что позволяет опускать знак суммы. Например, если С(1,1)=А(1,1)В(1,1), то

             = .  =   .  .

      1.3.5. Кронекеровское произведение многомерных матриц

     Данная  операция является одним из средств, порождающих матрицы высоких  размерностей, так как размерность и структурные числа результата являются соответственно суммой размерностей и структурных чисел сомножителей: А(р_А,g_A) B(p_B,g_B)=C(p_C,g_C) = C(p_A+p_B,g_A+g_B). Здесь - знак кронекеровского умножения многомерных матриц; р,g – структурные числа (столбцовые р или строчные g).

     Табличное представление матрицы С, являющейся кронекеровским произведением, получается путем замены элементов  матрицы  А на скалярное произведение этих элементов и матрицы В:

                 *B.

     Если  использовать индексное представление  многомерных матриц, то кронекеровское произведение отображается следующим  образом:

      = .

     При этом все индексы матрицы С  должны быть расставлены по правилу помечивания с учетом того, что столбцовые (строчные) индексы матрицы А предшествуют столбцовым (строчным) индексам матрицы В. Например, если С(4,3) = А(1,2) В(3,1), то

     {a_i⁺_j^-_l^-} {b_m⁺_n⁺_f⁺_k^-} = {c_i⁺_m⁺_j^-_n⁺_l^-_f⁺_k^-}. 
 

      1.3.6. Обращение многомерной матрицы

      Многомерная матрица В=А^-1 называется обратной по отношению к гиперквадратной матрице А=(р,р), если выполняются следующие соотношения:

                   А(р,р)×В = В×А(р,р) = Е(р,р).                                                              (1.2)

      Обратная  многомерная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель исходной гиперквадратной матрицы  отличен от нуля. Численное обращение гиперквадратной матрицы может осуществляться путем плоского обращения ее двумерного табличного представления.

      Псевдообратной  многомерной матрицей В(g,p) = A⁺( g,p) по отношению к матрице А(р,g) называется матрица В, удовлетворяющая следующим аналогам условий Мура-Пенроуза :

      a) A(p,g)B(g,p)A(p,g) = A(p,g);

      б) B(g,p)A(p,g)B(g,p) = B(g,p);

      в)[B(g,p)A(p,g)]^T = B(g,p)A(p,g);

      г) [A(p,g)B(g,p)]^T = A(p,g)B(g,p).

      Псевдообратная  матрица всегда существует, и ее табличное представление совпадает с результатом псевдообращения двумерного табличного представления исходной матрицы. При этом выполняется условие – если обратная матрица существует, то она совпадает с псевдообратной: A⁺(p,g) = A^-1(p,g).

     Таким образом, общее правило получения  обратной матрицы можно записать следующим образом.

    1. Обратная матрица строится на основе обращения (псевдо-обращения) ее табличного представления:

      A={a_i,j,k…} {A_i1,j1}

  A^-1_i,j=(-1)^i+j*   (где B_j,i-определитель матрицы, полученный вычеркиванием j –ой строки и i – го столбца)

  D= (где В определитель матрицы, получаемый из исходной матрицы вычеркиванием k -ой строки и i–го столбца) 

  

              A(1,1)={a_i⁺_,j^-}=   

    

(A^т)^-1=  
 

       

     А(а^-1_j⁺_i^-)= 
 

      2. Индексы обратной матрицы располагаются  так же, как при транспонировании матрицы. Построенная таким образом матрица определяет структуру обратной матрицы, а значения ее элементов устанавливаются по табличному представлению обратной матрицы.  

      Примечание. Многомерные обратные матрицы могут использоваться для представления решения линейных многомерно-матричных уравнений типа А(р,р)×Х(р,0)=В(р,0), которое дается соотношением: Х(р,0) =А^-1(р,р)×В(р,0).

 

2. Решение линейных многомерно-матричных уравнений

На  основе псевдообращения  многомерной матрицы. 

2.1 Оценка устойчивости решения системы линейных уравнений. 

    Имеем систему линейных алгебраических уравнений:

    А(1,1) × Х(1,0) = b(1,0).                                                             

    Правые  части получили погрешность:

    b₁(1,0) = b (1,0) + η (1,0).                                                        

    При наличии ошибок на входе, выходная величина также будет изменена:

    Х1(1,0) = Х(1,0) + r(1,0).                                                          

    Если  бы ошибок не было, то на выходе была бы величина Х.

    А(1,1) ∙ r(1,0) = η (1,0) – уравнение ошибки.                         

    В уравнении  зададим Х с нормой, равной 1:

     .

    При этом норма  b тоже будет изменяться:

     ,

    m ≤ || b(1,0)|| ≤ M.

    При произвольной норме наше уравнение  перепишется в виде:

    m || X(1,0)|| ≤ || b(1,0)|| ≤ M || X(1,0)||.

    Тогда μ = – число обусловленности матрицы. Оно играет большую роль при выборе алгоритма обработки.

    Перепишем уравнение с учетом изменений: вместо Х поставим r, а вместо b – η:

    m || r(1,0)|| ≤ || η(1,0)|| ≤ M || r(1,0)||.

    Имея  эти два неравенства, найдем отношение:

     , η – ошибка выхода.

    Это неравенство показывает усиление ошибки со входа на выход.

     Учитывая такое  большое значение числа обусловленности, расчеты проводить можно более  просто.

    А – матрица общего вида

     .

    Находим определитель матрицы и приравниваем к нулю.

    Тогда:

     .

     Если исходная матрица А симметричная, то есть а_ij = a_ji , то для нее:

     ,

     . 
 
 
 

      ПРИМЕР: Возьмем систему уравнений: