Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

«Введение в анализ и дифференциальное исчисление  
функции одного переменного»

  № 1. Вычислить предел

  Решение:

Имеем неопределенность вида Преобразуем дробь и применим известные I  и II  замечательные пределы и следствия из них.

 

.

  № 2.  Найти асимптоты функции  

  Решение:

1.) Функция имеет разрыв в точке , поэтому прямая — вертикальная асимптота. Исследуем эту точку, найдем пределы справа и слева.

;

2.)  Найдем горизонтальные асимптоты.

,

 у = 6 — горизонтальная асимптота.

3.)  Найдем  наклонные асимптоты. 

Ищем их в  виде , где , .

Но так как 

т.е.  k = 0, то наклонных асимптот нет.

  № 3. Определить глобальные экстремумы функции при

  Решение:

Точки, в которых функция принимает  наибольшее и наименьшее значения в  ограниченной области, называют точками абсолютного (или глобального) экстремума.

Чтобы найти глобальные экстремумы нужно  вычислить значения функции в  критических точках, а также наибольшие и наименьшее значения на границах отрезка.

Найдем  критические точки, т.е. точки, в которых первая производная функции равна нулю.

.

  при   , т.е. при . Значит, — критическая точка.

Вычислим  значения функции в критической  точке и на концах отрезка.

     ;    

Таким образом,   ;      

Таким образом, точка  является точкой глобального максимума, а точка — точка глобального минимума.

  № 4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

  Решение:

Исследуем функцию на монотонность. Для этого найдем первую производную функции   и точки, в которых (точки возможного экстремума).

.

 при   ,

,

х₁ = 0,   х₂ = 1,   х₃ = 3. — критические точки.

Критические точки  разрывают числовую прямую на интервалы:

,   (0;1),   (1; 3),   (3; +∞).

Выясним, какие знаки имеет функция  в каждом из них. Для этого воспользуемся таблицей:

Таким образом, при      функция убывает.

А при      функция возрастает.

При переходе через точки  х = 0  и х = 3,  сменяет свой знак с «—» на «+», поэтому они являются точками минимума. А при переходе через точку х =1, сменяет свой знак с  «+» на «—», поэтому х =1 — точка максимума.

Построим схематически график:

  № 5.  Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

  Решение:

Для нахождения промежутков выпуклости и точек  перегиба найдем вторую производную  функции  и точки, в которых

  при   , х = 2 — критическая точка.

Построим вспомогательную  таблицу.

При ,  и при ,  , график на первом интервале выпуклый вверх, а на втором — выпуклый вниз.

Точка (2; –14) — точка перегиба.

«Дифференциальное исчисление функции  
и его приложение»

  № 1.  Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции.

  Решение:

1. Область определения .
2. Т.к. , и , то функция ни четной, ни нечетной не является. Поэтому график не симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.
3. Единственной точкой пересечения с осями координат является точка  (0;0).
4. Найдем асимптоты графика функции.

а) В точке х = 2 функция не определена, кроме того,

поэтому, х = 2 — точка разрыва II рода, а прямая х = 2 является вертикальной асимптотой;

б) горизонтальных асимптот нет.

в)  Найдем наклонные  асимптоты.

Ищем их в  виде , где , .

,

,

т.е.      — наклонная асимптота.

5. Найдем промежутки возрастания, убывания функции.

.

  при  х = 0 и  х = 4. — критические точки.

 не существует при х = 2,  но т.к.  х = 2 не принадлежит области определения то критической не является.

Точки     разбивают числовую прямую на интервалы , .

При    функция возрастает, а при функция убывает.

 — точка максимума,  — точка минимума.

Причем  ,   .

6. Найдем промежутки выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба.

.

.

 ни при каких х и не существует при  х = 2, но т.к. , то критической не является, а потому нет точек перегиба.

Точка х = 2 разбивает числовую прямую на интервалы , .

При     график выпуклый вверх,

а при        график выпуклый вниз.

7.   Сделаем  чертеж.

  № 2.  Найти локальные экстремумы функции

  Решение:

Вычислим частные  производные первого передка  данной функции:

;   ;

Находим точки  возможного экстремума (критические  точки):

       и  

Итак, , — критические точки.

Исследуем знак приращения в окрестностях точек P₁  и P₂. Для этого вычислим частные производные второго порядка функции    в точках P₁ и P₂:

Для P₁:              .

Т.к. , то точкой экстремума не является.

Для P₂:  ;   ;    

Т.к. и то точка — точка строгого минимума.

  № 3.   Определить экстремумы функции , если , .

  Решение:

Из уравнения  связи  находим: 

Подставим его  в уравнение     получаем: .

Получим функцию данной переменной. Найдем точки локальных экстремумов.

.

  при   ,

,   — критические точки.

,   причем   ,   .

    — точка локального минимума,  — точка локального максимума.

«Интегральное исчисление функции  
одного переменного»

  № 1—3. Найти неопределенный интеграл

  1.)  .

  Решение:

, где C — некоторая постоянная.

  2.) 

  Решение:

, где C — некоторая постоянная.

  3.   .

  Решение:

 где C — некоторая постоянная.

  № 4.   Вычислить ;

  Решение:

Пусть  , тогда ;

При ,   ;   при   ,   .

Тогда

  № 5.   Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

  

  .

  Решение:

Перепишем функции  в виде  , .

Сделаем чертеж.

Найдем  точки пересечения  графиков функций, решив систему:

      

Получаем точки  , .

Воспользуемся формулой для вычисления площади  фигуры: