Вспомогательные утверждения, которые использованы в работе

Содержание

Введение……………………………………………………………………………...3

1. Вспомогательные утверждения, которые использованы в работе…………………………………………………………………………..4
2. Свойства нелинейных операторов………………………………………….5
3. Основная теорема теории монотонных операторов………………………..7
4. Примеры……………………………………………………………………….9

Заключение……………………………………………………………………………

Литература…………………………………………………………………………… 

Введение

Работу условно можно  разделить на две содержательные части.

В первой части работы вводятся основные понятия теории монотонных операторов. В первом пункте работы определяются и  рассматриваются основные понятия, которые играют основную роль при исследовании нелинейных операторных уравнений, а именно, понятия радиальной непрерывности, монотонности, коэрцитивности.

Основное содержание второй части работы составляет теорема  существования. В этой части работы будет доказана основная теорема  теории монотонных оператор (теорема Браудера, Минти).

Данная тема  главным  образом просвещена изучению  операторных  уравнений вида . Выполнение этой работы способствует не только усвоению нових знаний, но и повторению основних элементов курса математического и функционального анализа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Понятия и утверждения, которые были использованы в работе.

Определение 1.1. Подмножество М линейного пространства Х называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками х и у этому множеству принадлежит соединяющий их отрезок, т.е. множество

.

Определение 1.2.Множества М локально выпуклого пространства Х, замкнутые в смысле слабой топологии, кратко называют слабо замкнутыми.

Определение 1.3. Две нормы , определённые на линейном пространстве Х называются эквивалентными, если существуют такие числа ,что

 

Замечание 1.1. На конечномерном линейном пространстве все нормы эквивалентны.

Теорема 1.1. Последовательность элементов нормированного пространства X слабо сходится к точно тогда, когда последовательность ограничена и для всех из некоторого плотного в множества функционалов.

Неравенство Соболева

WWW

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Свойства нелинейных операторов

Определение 2.1. Оператор называется:

-радиально непрерывным, если при любых фиксированных вещественная функция непрерывна на ;

-хеминепрерывным, если при любых фиксированных вещественная функция непрерывна на ;

-деминепрерывным, если из   следует ;

-липшиц-непрерывным, если существует такая постоянная М, что

 

для любых ;

ограниченно липшиц-непрерывным, если существует возрастающая функция µ на , такая, что любых

 

Определение 2.2. Пусть -  произвольные элементы из . Оператор называется:

-монотонным, если

 

-строго монотонным, если

 

-d-монотонным, если

 

Для некоторой сторого возрастающей функции ;

-равномерно монотонным, если

 

Для некоторой строго возрастающей функции 

-сильно-мотонным (с постоянной монотонностью m), если

.

Определение 2.3. Оператор называется коэрцитивным, если существует определённая на вещественная функция с

 

такая, что

 

Лемма 2.1. а)Оператор монотонен точно тогда, когда при любых фиксированных вещественная функция

 

Является возрастающей на .

b) Оператор дифференцируем по Гато и при любых фиксированных непрерывна на .. При этих условиях точно тогда монотонен, когда при любых

 

Лемма 2.2. Каждый монотонный оператор локально ограничен.

Следствие 2.1. Каждый линейный монотонный оператор непрерывен.

Следствие 2.2 Пусть оператор монотонен и - такое множество, что

Тогда существует постоянная М, такая, что

 

Лемма 2.3 Пусть - монотонный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

a) оператор радиально непрерывен;

b) из следует

c) из соотношений следует, что 

d) оператор деминепрерывен;

e) если , то из следует .

Следствие 2.3. Пусть - радиально непрерывный монотонный оператор. Тогда при любом множество решений уравнения выпукло и слабо замкнуто.

3.Основная теорема теории монотонных операторов

Для доказательства основной теоремы существования для операторных уравнений с монотонными операторами нам понадобятся одно простое следствие из теоремы о неподвижной точке Брауэра.

Лемма 3.1. Пусть - непрерывное отображение, для некоторого удовлетворяет условию

Тогда существует такое

Теорема 3.2 (Браудер, Минти). Пусть - радиально непрерывный монотонный коэрцитивный оператор. Тогда множество решений уравнения                  (1)

При любом непусто, слабо замкнуто и выпукло.

Доказательство.В виду следствия 2.3 нам надо лишь показать, что (1) имеет по крайней мере одно решение. Пусть - какая – нибудь полная система линейно независимых элементов в , и - замкнутая линейная оболочка векторов Тогда соответствие

 

Определяет взаимно однозначное  непрерывное отображение С пространства на . Очевидно,

 

является нормой на . В силу замечания 1.1

 

Определим оператор по правилу

.

Поскольку А как радиально непрерывный монотонный оператор деминепрерывен (лемма 2.3), оператор В непрерывен. Из коэрцитивности А следует, что для достаточно больших

 

Поэтому для 

 

Следовательно,  согласно лемме 3.1 существует такое , что значит для

 

Из оценки

 

и коэрцитивности А вытекает, что и потому для n = 1, 2……На основании следствия 2.2 заключаем, что Далее, в силу (2)

.

По теореме 1.1 отсюда следует, что Пусть подпоследовательность последовательности , такая, что Покажем, что является решением уравнения (1). Из (2) получаем

 

 Но тогда, согласно лемме 2.3 с), . Теорема доказана.

Из доказательства теоремы  легко вытекает

Следствие 3.1. Пусть деминепрерывный ограниченный коэрцитивный оператор, удовлетворяющий условию с) леммы 2.3. Тогда множество решений уравнения при любом непусто и слабо замкнуто.

Замечание 3.1. Пусть  - коэрцитивный оператор вида A=B+T с радиально непрерывным монотонным оператором и слабо непрерывным оператором . Тогда множество решений уравнения при любом непусто и слабо замкнуто. Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что при указанных предположениях оператор А удовлетворяет условию с) леммы 2.3.

 

4.Примеры

Проверить операторы на выполнение условий теоремы Браудера-Минти

Пример1.WW

W

1.Радиальная непрерывность

YWWW

Т.к. W, обозначим yW

Если для y показать, что при yy, тогда по теореме о предельном переходе под знаком интеграла YY.

WYWY

Поскольку То по теореме Лебега о предельном переходе по знаком интеграла получаем, что 
WW

Следовательно, сделав предельный переход под знаком интеграла получаем, что yy при .

То есть А-радиально непрерывный.

2.Монотонность

 

Проверим является ли заданный оператор монотонным, применяя следующую формулу

=WWWW

W

Следовательно, А – монотонный.

3. Коэрцитивность.

WWЗначит,

То есть, оператор А – коэрцитивный.

Следовательно, оператор А удовлетворяет условиям теоремы Браудера – Минти.

Пример 2. WW

W

Применим формулу Остроградского – Гаусса. Получим

WWW

Так как функция финитная, то внеинтегральный член W

Рассмотрим WW

W

1. Радиальная непрерывность

Проверим данное равенство  для одного члена ряда, если оно  будет выполнятся, то и для суммы так же будет выполнятся

WWW

Обзначим  Wy

Если для y показать, что при yy, тогда по теореме о предельном переходе под знаком интеграла YY.

WYWY

Поскольку  То по теореме Лебега о предельном переходе по знаком интеграла получаем, что 
WW

Следовательно, сделав предельный переход под знаком интеграла получаем, что yy при .

То есть А-радиально непрерывный.

2. Монотонность

 

Проверим является ли заданный оператор монотонным, применяя следующую формулу

WWW

Значит, оператор А – монотонный.

3. Коэрцитивность.