Властивості гармонійних функцій

Міністерство  освіти і науки, молоді та спорту України

Полтавський національний педагогічний університет ім.В.Г.Короленка

 

Кафедра математичного  аналізу та інформатики

 

 

Курсова робота з математики

 

Властивості гармонійних  функцій

 

 

Виконала студентка 

                                                                                           групи М-43 Хейло Юлія

 

 

Науковий керівник

Губачов Олександр  Павлович

 

 

Полтава 2012

Зміст

Вступ

Розділ І. Гармонічні функції

     1.1 Означення гармонічної функції.

Розділ ІІ. Властивості гармонічних функцій

Висновки 

Література

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Теорія гармонійних  функцій являє собою один з  найбільш витончених і струнких розділів класичного аналізу. Будучи у багатьох відношеннях природним узагальненням  лінійних функцій однієї змінної, гармонійні функції є в певному сенсі найпростішими функціями декількох змінних. Разом з тим запас таких функцій вельми багатий і різноманітний. Вони займають важливе місце не тільки в багатьох математичних дослідженнях, але також і в додатках аналізу до фізики і механіки, де ними часто описуються різні стаціонарні процеси.

Проте цим не вичерпується значення гармонійних  функцій в аналізі. Ряд властивостей гармонійних функцій розглянуті в даній роботі, служать зразком  для постановки завдань і отримання тих чи інших результатів, що відносяться до інших розділів аналізу, і перш за все до загальної теорії диференціальних рівнянь з приватними похідними еліптичного виду.

У традиційному університетському курсі математичного  аналізу з різних причин не знаходиться місця для систематичного викладу основних факторів теорії гармонійних функцій. Містяться там відомості про гармонійні функції,як правило, є дуже мізерними, носять епізодичний характер і розкидані в різних місцях, де вони наводяться зазвичай на другому плані. Тому, при написанні роботи був узятий матеріал з книг, присвячених диференціальним рівнянням математичної фізики, векторному аналізу, теорії аналітичних функцій та інші. 

Місце, яке займає теорія гармонійних функцій в аналізі, її безперервний розвиток в різних напрямах і розширення області застосувань виправдовують прагнення до ознайомлення з цією теорією в її класичному варіанті, де вже досить чітко намічені деякі можливі точки зору і сформульовані типові методи, багато в чому визначають напрям ряду сучасних досліджень.

 

 

Розділ  І. Гармонічні функції

1. Означення гармонічної функції.

Гармонійною в області D функцією називається дійсна функція двох дійсних змінних, що володіє в цій області, безперервними другими частинними похідними і задовольняє диференціальному рівнянню:

                                               
   
( - Символ диференціального оператора). Це рівняння зазвичай називають рівнянням Лапласа. Однак Лаплас розглянув його в 1782 р., а задовго до нього це рівняння використовував Л. Ейлер у своїх роботах з гідродинаміки та іншим розділам математичної фізики. Зауважимо, що в силу лінійності рівняння Лапласа - будь-яка лінійна комбінація:

                                                         
 гармонійних функцій з дійсними постійними коефіцієнтами знову є гармонійною функцією. Як ми побачимо в наступних розділах курсової роботи, потенціали найважливіших векторних полів, розглядаються в фізиці, є гармонійними функціями, і будь-яку гармонійну функцію можна представляти фізично як потенціал деякого поля. Тому і в загальному випадку гармонійні функції часто називають потенціалами, а теорію гармонійних функцій - теорією потенціалу.

 

 

 

 

 

Розділ  ІІ. Властивості гармонічних функцій

2.1

З'ясуємо зв'язок між поняттями аналітичних та гармонійних функцій. Цей зв'язок виражається в наступних двох простих теоремах:

Теорема 1. Дійсна і уявна частини довільної  функції однозначною і аналітичної в області , є в цій області гармонійними функціями. 
   Доведення безпосередньо випливає з умов Коші – Рімана

                                                                      (1) 
Насправді, так як аналітичні функції мають похідні всіх порядків, то рівняння (1) можна диференціювати по і . Диференціюючи перше з них по , а друге по користуючись теоремою про рівність змішаних похідних, знаходимо:

                                                          
     
звідки

                                                           
      
Для функції доведення аналогічне.

Дві гармонійні в області функції і , пов'язані умовами Коші - Рімана, називаються сполученими.

Теорема 2. Для всякої функції , гармонійної в однозв’язній області , можна знайти, пов'язану з нею гармонійну функцію . 
Насправді,розглянемо інтеграл

 , 
де - фіксована, а - змінна точка області . У силу рівняння Лапласа , цей

інтеграл не залежить від шляху інтегрування і є функцією тільки точки ; позначимо цю функцію . Маємо, користуючись властивостями криволінійних інтегралів

(Можемо брати  інтеграл від до по горизонтальному відрізку, на якому ); аналогічно ,. Отже, в є шуканої функцією, поєднаною з функцією . Так як функція визначається своїми приватними похідними з точністю до постійного доданка, то сукупність усіх гармонійних функцій, сполучених з ,дає формула

 (2)

де С-довільна(дійсна) постійна.

Зауважимо, що великозвязній  області інтеграл (2)

визначає багатозначну функцію. Він може приймати різні  значення уздовж двох шляхів і які з’єднують точки і , якщо ці шляхи не можна деформувати один в одного, залишаючись в області (тобто якщо всередині області, обмеженої і є точки,які не належать до ). Очевидно, можна стверджувати, що в великозвязній області загальна формула для значень функції , яка визначається інтегралом(2),має вигляд

(3)

Де -довільні цілі числа і - інтеграли вздовж замкнутих контурів , кожен з яких містить усередині себе одну зв'язну частину кордону :

Постійні називаються періодами інтеграла (2), або циклічними постійними. 
Якщо в деякій області лежачої в , можна виділити однозначну і безперервну гілку функції , обумовленою формулою (3), то ця гілка, очевидно, є гармонійною функцією, поєднаної з . Тому функцію вважають багатозначною гармонійною функцією. Зауважимо, що часткові похідні цієї функції однозначні:

, ;це випливає з формули(3).

Теорему 2 можна, очевидно, сформулювати так:

Теорема 2 '. Будь-яку гармонійну в області функцію можна розглядати як дійсну або уявну частину деякої аналітичної функції ; ця остання визначається з точністю до постійного доданка, відповідно уявного або дійсного. 
  Не виключаємо випадку багато зв’язних областей, тому аналітична функція може виявитися багатозначною.

Приклад. Підрахунок приватних похідних показує,що функція

 є гармонійною в кільці . Інтеграл (2)має вигляд 

і представляє в кільці безкінечнозначну функцію. Відповідна аналітична функція

Теорема 3. Будь гармонійна функція є аналітичною функцією своїх аргументів і , тобто в околиці кожної точки області вона представляється у вигляді суми абсолютно збіжного ряду

 (5)

Насправді, по теоремі 2 'можна розглядати як дійсну частину функції , однозначною і аналітичної в деякій околиці точки . Нехай в цій околиці

  (6)

Де . Дійсна частина загального члена ряду (6)

(7) 
по абсолютній  величині не перевершує

,а так як  по теоремі Абеля ряд (6) абсолютно сходиться в будь-якому колі , тобто ряд збігається при , то і ряд із загальним членом (7) буде абсолютно сходитися при . Цей ряд і являє собою ряд для . Після перегрупування його членів (що законно в силу доведеною абсолютної збіжності), отримуємо необхідний ряд (5). 
 Теорема доведена.

З доведеної  теореми, зокрема, випливає, що гармонійні функції володіють частинними похідними всіх порядків.

Ґрунтуючись на теоремі 3, можна отримати практично зручний спосіб відновлення аналітичної функції по відомій дійсній частині . Елементарно перетворюючи вираз (7) загального члена ряд для , Отримуємо уявлення  цієї функції в околі точки :

Цей ряд, по теоремі Абеля, сходиться і для комплексних значень і , досить близьких до і , тому в ньому можна покласти , , де - точка, досить близька до , і отримаємо

Замінюючи тут через , після простих перетворень отримуємо остаточну формулу:

(8) 
Формула (8) отримана для точок , близьких до , але по теоремі єдиності, очевидно, зберігає силу у всій області визначення , бо в цій галузі обидві частини(8) є аналітичними функціями .

Зокрема, якщо аналітична в початку координат, то можна покласти ,і формула (8) приймає особливо простий вигляд:

Наведемо декілька прикладів застосування формул (8) в (9); 
Приклад1. ,

(Формула(9)). 
Приклад2.

(Формула(8), =1) 

Приклад 3.

(Формула(8), )

У всіх трьох формулах С - чисто уявна постійна.

Перейдемо до розгляду властивостей гармонійних функцій. На підставі теорем 1 і 2 ці властивості легко виходять з відповідних властивостей аналітичних функцій. Для зручності писати замість С.

Теорема 4 (про середнє). Якщо функція неперервна - в замкнутому колі радіуса з центром в точці і гармонійна всередині, цього кола, то 
                                                                                     (10) 
Теорема 5. Відмінна від постійної гармонійна функція не може досягати екстремуму у внутрішній точці області визначення.

Теорему досить довести для випадку максимуму, бо точка мінімуму гармонійної функції є точкою максимуму функції - , також гармонійної. Припускаючи противне, припустимо, що гармонійна функція досягає максимуму у внутрішній точці області. В околиці точки , побудуємо однозначну аналітичну функцію таку, що . Функція аналітична і не постійна, а її модуль, за нашим припущенням, досягає максимуму у внутрішній точці області. Це суперечить принципу максимуму, і теорема доведена. 
Теорема 6. Якщо гармонійна у всій відкритої площині функція обмежена хоча б зверху, чи знизу, то вона постійна. 
У самому справі, нехай обмежена зверху:. Побудуємо аналітичну у всій відкритої площині функцію таку, що. За умовою теореми всі значення функції лежать в