Вища математика та економіка

Ви́ща матема́тика  та економіка

 

Ви́ща матема́тика — курс, що входить в навчальний план технічних та деяких інших спеціальних навчальних закладів, включає в себе аналітичну геометрію, елементи вищої алгебри, диференціальне та інтегральне числення, диференціальні рівняння.

 

Дисципліна “Вища математика” для економістів включає розділи вищої математики, вивчення яких дає математичний апарат, що найбільш активно застосовується для розв’язання прикладних економічних і управлінських задач. Це лінійна алге- бра, елементи аналітичної геометрії та математичний аналіз. У розділі “Лінійна алгебра” основна увага приділяється мат- рицям, визначникам і системам лінійних алгебраїчних рівнянь, оскільки в економічних дослідженнях широко використовують- ся різні матричні моделі – модель міжгалузевого балансу, мо- делі транспортних перевезень, моделі керування чергами й т. ін. Лінійні моделі, які зводяться до систем лінійних алгебраїч- них рівнянь або нерівностей, з досить високою точністю відпо- відають описуваним ними явищам. За допомогою цих моделей вирішується багато управлінських задач. Математичний аналіз дає ряд фундаментальних понять, якими оперує економіст – функція, границя, похідна, інтег- рал, числовий та функціональний ряди, диференціальне рі- вняння. Наприклад, друга чудова границя застосовується для розв’язання задач про ріст банківського внеску за законом складних відсотків; використання поняття похідної необхідно у такій спеціальній дисципліні, як граничний аналіз в економіці й т. ін. Але перед тим, як перейти до вивчення нового мате-ріалу, систематизуємо ваші знання, які будуть нам необхідні надалі.

 

Математика з її логічним й обчислювальним апаратом є потужним засобом розв’язування прикладних задач, інструментом кількісних розрахунків. Без застосування основних методів математики неможливо уявити науково обґрунтовані способи прогнозування розвитку ефективних економічних систем і прийняття оптимальних управлінських рішень. Основна мета навчальної дисципліни “Вища математика” — ознайомити студентів з основами сучасного математичного апарату, необхідного для розв’язування теоретичних і прикладних завдань економіки й управління; сформувати в них уміння виконувати математичний аналіз економічних систем; сприяти розвитку логічного мислення. Знання, здобуті при вивченні вищої математики, широко застосовуються у навчальних курсах теорії ймовірностей та математичної статистики, математичного програмування, макро- та мікроекономіки, маркетингу, менеджменту, в інших спеціалізованих економічних курсах.

 

Математичні дисципліни відноситься до дисциплін другого циклу, які формують фаховий світогляд майбутніх економістів.

Освітньо-кваліфікаційна характеристика призначена для органів управління діяльністю вищих навчальних закладів, де ведеться підготовка фахівців з даного профілю та встановлює освітньо-кваліфікаційний рівень і державні вимоги до властивостей та якостей особи, яка здобула певний освітній рівень відповідного фахового спрямування. Так, в освітньо-кваліфікаційній характеристиці до підготовки економістів зазначається, що фахівець готується до роботи в галузі економіки, організації і управління виробництвом; до здійснення аналітичної, дослідницької і організаційно-економічної роботи в структурних підрозділах і економічних службах підприємств різних форм власності, науково-дослідних та проектно-конструкторських організацій, в загальноекономічних службах, державних, галузевих та територіальних органах управління, а також до відкриття, організації діяльності і управління власним підприємством. Згідно з наведеними вище напрямами діяльності майбутнього економіста, він повинен вміти виконувати певні функції і типові завдання.

 

 

 

Одним з типових завдань, які має розв'язувати фахівець економічного профілю, зазначених в освітньо-кваліфікаційній характеристиці, є застосування економіко-математичних методів і моделей в управлінні виробництвом, його організація і планування.

 

Вища математика - фундаментальна навчальна дисципліна у вищих навчальних закладах економічного профілю і широко застосовується при вивченні професійно орієнтованих дисциплін (мікроекономіка, макроекономіка, економічний аналіз, управлінський облік, маркетинг, стратегія підприємств, прогнозування на макрорівні та інші).

Роль математики, її фундаментальність для вивчення інших дисциплін важко переоцінити.

 

Особливість математичних дисциплін полягає в їхній надзвичайній складності для сприйняття студентами. Це зумовлює необхідність системного підходу, збалансованого поєднання теоретичних основ та їх практичного застосування.

 

Розгляд економічних питань у процесі вивчення математики та задач з реальним економічним змістом дозволяють продемонструвати студентам наявність глибоких і плідних зв'язків між математикою і економікою, а через них - і взаємозв'язки математики з проблемами навколишнього світу. Побудова і дослідження математичних моделей економіки сприяють розвиткові навичок застосування математичних методів для аналізу реальних економічних ситуацій. Використання реальних економічних завдань під час вивчення курсу математики сприяє подоланню формалізму у викладанні математики і розвитку інтересу до її вивчення.

 

Одна з найважливіших цілей ознайомлення з елементами економіки в процесі вивчення математики є формування у студентів економічного способу мислення. Ілюстрація математичних конструкцій змістовними економічними реаліями, демонстрація і самостійна побудова доступних студентам математичних моделей економіки, імплантація економічного змісту в навчальну програму математики показують, що в процесі взаємодії цих дисциплін досягається низки цілей вивчення економічних дисциплін Практика роботи у вищих економічних навчальних закладах показує, що міжпредметні зв'язки ускладнюють зміст і процес пізнавальної діяльності майбутніх економістів.

 

 Вища математика вивчається з першого семестру першого року навчання, тому міжпредметні зв'язки носять переважно випереджальний характер, і їх надмірне використання може викликати додаткові труднощі в процесі вивчення самої математики. Тому, на нашу думку, необхідне поступове введення об'єму і складності міжпредметних зв'язків з дисциплінами економічного спрямування. Вища математика загалом, а такі її розділи, як «Елементи лінійної алгебри», «Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії», «Елементи теорії границь», «Диференціальне числення функції однієї та багатьох змінних», «Інтегральне числення», «Диференціальні рівняння» зокрема, є важливим компонентом фахової підготовки майбутніх економістів. Це пояснюється міждисциплінарною функцією математики.

  

Як приклад використання математики під час вивчення економічних дисциплін можна розглянути наступну таблицю:

 

 

 

 

 

 

 

 

Міжпредметні зв'язки економічних та математичних дисциплін 

Назва економічної дисципліни	Економіко-математичні моделі	Розділ курсу вищої  математики
Макроекономіка	1. Модель Леонтьєва багатогалузевої  економіки (балансовий аналіз). 2. Лінійна модель обміну (модель міжнародної торгівлі).	Елементи  лінійної алгебри
Політична економія. Економіка підприємств	1. Вектори як економічні моделі: вектор затрат на виробництво  продукції.  2. Обчислення затрат на виробництво продукції за допомогою скалярного добутку векторів.	Елементи  векторної алгебри
Політична економія	1. Лінійні моделі виробничих  функцій.  2. Лінійні моделі попиту і пропозиції. 3. Закон розподілу прибутків (закон Парето).	Елементи  аналітичної геометрії
Політична економія. Мікроекономіка. Економічний  ризик	1. Функції попиту і пропозиції, рівноважна ціна і павутиноподібна  модель. 2. Виробничі функції.  3. Функція залежності попиту на різні товари від доходу населення.  4. Функція Кобба- Дугласа.	Функція однієї та багатьох змінних
Політична економія. Фінанси підприємств. Мікроекономіка.	1. Еластичність функції однієї  змінної і частинні еластичності  функції багатьох змінних виробничих  функцій, функції попиту і пропозиції. 2. Максимізація доходу і прибутку та мінімізація витрат у випадку виробничих функцій однієї та багатьох змінних. 3. Мінімальність транспортних витрат.	Диференціальне числення функцій  однієї та багатьох змінних
Фінанси підприємств. Мікроекономіка. Економіка  підприємств	1. Обчислення загальних витрат, доходу, прибутку за відомими  відповідними граничними витратами,  доходом, прибутком.  2. Обчислення обсягу виробленої продукції за відомою продуктивністю праці.  3.Обчислення додаткових витрат, доходу і прибутку. 4. Обчислення суми споживчого активного сальдо. 5. Обчислення прибутку від відсотків вкладу при неперервному нарахуванні.  6. Розподіл доходів населення. Крива Лоренца, коефіцієнт Джині.	Інтегральне числення функції однієї і багатьох змінних
Мікроекономіка. Економічний ризик. Макроекономіка.	1. Демографічний аналіз. 2. Аналіз ефективності реклами.  3. Аналіз зростання випуску продукції при інвестиціях.  4. Залежність національного доходу від динаміки споживання. 5. Модель ринку з прогнозованими цінами. 6. Модель зростання  в умовах конкуренції.	Диференціальні рівняння

 

Нині математика стала засобом чіткого визначення понять і постановки проблем для різних галузей науки, в тому числі й економіки. Математична модель є головним інструментом дослідження і прогнозування різноманітних економічних явищ.

 

Поняття математичної моделі для сучасної математики - одне з найважливіших. Якщо раніше математику визначали через величини, просторові форми і кількісні відношення або через математичні структури, то тепер здебільшого дотримуються такого визначення. Математика - наука про математичні моделі та їх застосування.

Вітчизняні науковці Г. Дутка і О. Бобик пропонують поділ математичних моделей економічних об'єктів на такі основні етапи:

- макроекономічні - описують економіку як єдине ціле, повязують між собою укрупнені економічні показники;

- мікроекономічні - описують взаємодію структурних і функціональних складових економіки або поведінку такої окремої складової у ринковому середовищі;

- теоретичні - дозволяють вивчати загальні властивості економіки та її характерних елементів;

- прикладні - дають можливість оцінювати параметри функціонування конкретного економічного об'єкту і формулювати рекомендації щодо прийняття рішень;

- рівноваги - описують такі стани економіки, коли результуюча всіх факторів, спрямованих на виведення її з даного стану, дорівнює нулю;

- статистичні - описують економічний об'єкт у конкретний момент або протягом конкретного періоду часу;

- динамічні - вивчають зв'язки між змінними, що характеризують об'єкт, з плином

часу;

- детерміновані - передбачають стабільні функціональні зв'язки між змінними, що описують об'єкт;

- стохастичні - допускають наявність випадкових впливів на досліджувані показники об'єкту

 

Варто зазначити, що удосконалення та поглиблення одержаних знань, умінь та навичок студентів здійснюється під час виконання комплексного практичного індивідуального завдання, пов'язаного із завданнями майбутньої професійної діяльності. Наведемо приклади таких завдань:

1. Структурна матриця торгівлі трьох країн має вигляд де ɑij - частка бюджету, яку j-та країна витрачає на закупівлю товарів у і-ої країни. Знайти співвідношення бюджетів країн для збалансованої торгівлі.

2. Знайти рівноважну ціну, еластичність функції попиту q=q(р) та пропозиції S=S(р) для рівноважної ціни, побудувати графіки функцій попиту і пропозиції.

3. Сумарний прибуток підприємства залежить від витрат двох видів ресурсів Х1 та Х2 і виражається функцією Z = ƒ(x1,x2). Кількість ресурсів обмежена квотою φ(x1,x2)=0.

Визначити витрати ресурсів Х1 та Х2 що забезпечують максимальний прибуток підприємства та знайти його.

4. Знайти обсяг продукції, виробленої за певний проміжок часу to якщо відома функція продуктивності деякого виробництва ƒ(t)

 

Висновок. Математична освіта в підготовці майбутніх економістів відіграє важливу роль, оскільки вона є загальнонауковим фундаментом для оволодіння системою фахових знань. Встановлення міжпредметних зв'язків можливе за умови урахування потреб професійно-орієнтованих та фахових дисциплін в математичному інструментарію, який може бути використаний як метод аналізу реальних економічних явищ і процесів.

 

 

 

Література:

1. Гриб'юк О. Математичне моделювання екологічних процесів у профільних класах / Олена Гриб'юк // Математика в школі. - 2004. - № 8. - С. 45-48.

 Дутка Г.Я.

2. Фундаменталізація математичної освіти майбутніх економістів: монографія / Г.Я. Дутка; наук. ред. д-р пед. наук, проф., чл.-кор. АПН України М.І. Бурда. - К.: УБС НБУ, 2008. - 478 с.
3. Бевз Г. Не звужуймо поняття математичної моделі / Григорій Бевз // Математика в школі. - 2009. - № 12. - С. 3-7.
4. Дутка Г.Я. Шляхи реалізації професійно спрямованого змісту математичної підготовки майбутніх економістів /Г.Я. Дутка, О.І. Бобик // Сучасні інформаційні технології та інноваційні методики навчання у підготовці фахівців: методологія, теорія, досвід, проблеми: зб. наук. пр. / [редкол.: І. А. Зязюн (голова) та ін.]. -К., Вінниця: ДОВ «Вінниця», 2008. - Вип. 17 - С. - 301-308.