Векторы на плоскости и в пространстве

Введение.

     Величины, встречающиеся в механике, физике и других прикладных науках, могут  быть разделены на две категории. К одной из них относятся такие  физические или механические величины, которые определяются только числовым значением (числом), например: масса, плотность, температура, объем. К другой категории  можно отнести те величины, для  определения которых требуется  знание не только числового значения, но и направления, например: сила, скорость, ускорение. Величины первой категории  называются скалярными, второй — векторными. Скалярная величина может быть задана числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единице измерения. Для изображения векторных величин (физических, механических и т. д.) употребляются векторы. Векторами называются направленные отрезки. Это одно из основных понятий раздела математики, который называется аналитической геометрией. Отрезок прямой, ограниченный точками A и B, называется направленным, если указано, какая из этих двух точек является его началом и какая — концом. Если обозначим — направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B, то будет означать направленный отрезок с началом B и концом A. Направленные отрезки и имеют взаимно противоположные направления. Возьмем произвольную прямую. На ней можно установить два взаимно противоположных направления. Выберем любое из них и назовем его положительным (а противоположное направление — отрицательным). Прямая с выбранным на ней направлением называется осью. Метод координат начинается с того, что на оси выбирается точка O (начало координат) и единица масштаба (единичный отрезок). При этом сама прямая называется координатной осью (или говорят, что на прямой введена система координат). Введение на прямой системы координат позволяет определить положение точек этой прямой с помощью действительных чисел. Координатой любой точки M прямой называется число x, равное по абсолютной величине расстоянию от начала координат до точки M, положительное, если направление отрезка совпадает с направлением координатной оси, и отрицательное, если направление отрезка противоположно направлению этой оси.  
 
 
 

Векторы на плоскости и  в пространстве.

Основные  определения и  свойства. 

     Определение 1.1. Вектором называется направленный отрезок. Векторы рассматриваются на плоскости (двумерные) и в пространстве (трехмерные). И в том и в другом случае вектор определяется упорядоченной парой точек, первая из которых начало вектора (или его точка приложения), другая — конец вектора; вектор направлен от начала к концу. На рисунке вектор изображается стрелкой (рис. 1). Для обозначения векторов используются символы a, b, x и т. п.; если A и B, соответственно, точки начала и конца вектора, то этот вектор обозначается или .

     Определение 1.2. Длина отрезка AB называется длиной вектора . Длина вектора a обозначается |a|.

     Определение 1.3. Если начало вектора совпадает с его концом, вектор называется нулевым (обозначается 0 или 0).

       Длина нулевого  вектора равна  нулю. Направленными  отрезками изображаются  только ненулевые  векторы.

     

             Рис.1

     Определение 1.4. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

       Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными или противоположно направленными.

     Определение 1.5. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

     На  рис. 2 изображены равные векторы a и b, а на рис. 3 —–неравные

     векторы a и b, c и d.

     

                         Рис. 2                               Рис. 3

     Определение 1.6. Ненулевые векторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.

     Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть компланарными. На рис. 4 изображена треугольная призма ABCA1B1C1. Векторы , и компланарны, а векторы , и

     компланарными не являются.

     

                       Рис. 4

     Сложение  векторов и умножение вектора  на число называются линейными  операциями над векторами.

     Напомним  определения и основные свойства этих операций.

     Определение 1.7. Пусть даны два ненулевых вектора a и b (рис. 5). От конца вектора a отложим вектор, равный вектору b. Суммой векторов a и b называется вектор , идущий из начала вектора = a в конец вектора =b.

     Обозначение: =a+b. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

     

                      Рис. 5

     Из  свойств параллелограмма следует  правило параллелограмма сложения векторов: сумма двух неколлинеарных

     

                   Рис. 6

векторов есть вектор, изображаемый диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах, идущей от их общего начала (рис.6).

     Если  три вектора a, b и c некомпланарны, их сумма может быть найдена по правилу параллелепипеда: вектор a+b+c изображается диагональю параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c, имеющих общее начало (рис.7).

     

                 Рис. 7

     Определение 1.8. Разностью a−b двух векторов a и b называется сумма вектора a и вектора, противоположного вектору b.

       Заметим, что если на векторах  a и b, отложенных от общего начала O, можно построить параллелограмм (рис.8), то длина диагонали, имеющей то же начало O, равна длине вектора a+b, а длина другой диагонали равна длине вектора a−b.

     

                     Рис. 8

     Определение 1.9. Произведением ненулевого вектора a на число 0 ≠ x называется вектор, длина которого равна |x| • |a| и который сонаправлен вектору a при x > 0, и который направлен в противоположную сторону при x<0. Произведение вектора a на число x обозначается x • a = xa.

     

               Рис. 9

     Пример 1.1. Известно, что векторы a, b, c попарно не коллинеарны, но вектор a+b коллинеарен c, а вектор b+c коллинеарен вектору a+b. Найдите сумму a+b+c.

     Решение. По условию найдутся 0 ≠ λ и 0 ≠ μ, такие, что a+b= λ c и b+c= μ a. Вычтем из первого равенства второе, получим a − c = λ c – μ a, отсюда a + μ a = c + λ c. По свойству 5 найдем (1+ μ)a=(1+ λ)c. Если 0 1 ≠ +μ или 0 1 ≠ + λ, то векторы a и c коллинеарны, это противоречит условию задачи, поэтому μ =1 и λ = –1, что означает a+b = –c или a+b+c = 0.

     Произведение  нулевого вектора  на любое число  и произведение любого вектора на нуль по определению считается  равным нулевому вектору.

     Линейные  операции над векторами

     Линейные  операции над векторами обладают следующими свойствами:

     1. a+b=b+a.

     2. (a+b)+c=a+(b+c).

     3. a+0=a.

     4. x(y a)=(xy)a.

     5. xa+ya=(x+y)a.

     6. xa+xb=x (a+b).

     7. 0 • a=x • 0=0.

     Здесь a, b, c — произвольные векторы; 0 — нулевой вектор; x, y — произвольные числа.

     Теорема 1.1. Вектор b коллинеарен ненулевому вектору a тогда и только тогда, когда существует такое число x, что b=xa.

     Следствие 1.1. Для неколлинеарных векторов a и b равенство

     xa+yb=0 выполняется тогда и только тогда, когда x=y=0. 

     Пример 1.2.  Векторы   a  и b   неколлинеарны.  Найти,  при каком  x

векторы c=(x–2)a+b и d=(2x+1)a–b будут коллинеарны.

     Решение. Вектор  c ненулевой,  так как коэффициент при b отличен от

нуля, следовательно, существует такое число y, что d=yc, т. е.

(2x+1)a–b=y(x–2)a+yb.

     Так как слагаемые в векторном  равенстве можно переносить из одной 

части  в  другую,  изменяя знаки перед этими слагаемыми  на

противоположные, то будем иметь 

     (yx–2y–2x–1)a+(y+1)b=0.

     Векторы a и b неколлинеарны, поэтому

     

     Решая эту систему, находим y = –1 и x = 1/3. При x = 1/3 векторы c и d

таковы:

     

     Как легко видеть, они противоположные: d = – c.

     Пусть  векторы  a  и  b  неколлинеарны,  отложим их  от  одной точки:

= a  и = b (рис. 10).  Любой ненулевой вектор  c,  компланарный  с

векторами a и b, по определению параллелен плоскости OAB.

     Если  построить  вектор  =c,  то  точка C  лежит в плоскости OAB,

поэтому  говорят,  что любые  три компланарных  вектора можно перенести в

одну плоскость.

       

            Рис. 10

     Теорема 1.2.  Если  векторы a  и b  неколлинеарные,  то  вектор  c

компланарен с векторами a и b тогда и только тогда, когда имеет место

разложение c=xa+yb.

     Нулевой  вектор  по  определению  считается  компланарным  с любыми

двумя векторами.

     Пример 1.3.  На  стороне BC  треугольника  OBC  расположена точка N

так, что BN : BC = n (рис. 11). Разложить вектор по векторам и .

     Решение.  Векторы и    коллинеарны  и сонаправлены, следовательно, 

=x    и x>0.  Поскольку =n ,  то  x=n  и =n .

Так как  = – и = +   , то

      = + n( – ) =n +(1–n) .

Заметим, что  при n=1/2 точка N является серединой стороны BC, а ON — медианой треугольника. В этом случае

                       

                           

                                      Рис. 11  
 

     Теорема 1.3. Если векторы a, b и c некомпланарны, то любой вектор d

можно единственным образом представить в виде d=xa+yb+zc.

     Это  представление  называется  разложением  вектора  d по  трем

некомпланарным  векторам  a, b  и c,  и вектор  d  называется  линейной

комбинацией векторов a, b и c.

     Пример 1.4. Дана треугольная призма ABC (рис. 12). Разложить

вектор  по векторам

     Решение. По правилу треугольника

     

     Складывая левые и правые части этих векторных  равенств, получаем

     

     

              Рис. 12

     Так как  и , то и, следовательно,

                    

     Определение 1.10. Углом между ненулевыми векторами называется

угол между  векторами,  равными  данным  и  имеющими  общее  начало. Угол

между векторами, как и угол между лучами, может  принимать значения от 0° до 180°.