Уравнения в частных производных

 

Содержание 

1. Постановка  задачи. Граничные и начальные  условия.…………………..………… 2
2. Физический смысл уравнения……………………………………………………….. 2
3. Решение задачи методом Фурье……………………………………………………...  4
4. Результаты численных экспериментов………………………………………….…… 9
5. Листинг программы…………………………………………………………………... 17

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Постановка  задачи. 

Методом Фурье  решить начальную краевую задачу для волнового уравнения,

в одномерном  случае. С условиями: на левом конце – условие Дирихле, на правом конце – условие Неймана. 

                                               (1)

                            -начальные условия              (2)

      

                - граничные условия             (3) 

Физический  смысл уравнения. 

  Уравнение (1) , это волновое уравнение – уравнение колебаний струны.

     В одномерном случаи:

     При d=1, то уравнение (1) имеет вид : – частный случай.                _где - коэффициент упругости

     Пусть имеется упругая струна, совершающая колебания под действием внешней силы F.

     Функция  описывает положение струны в момент времени в точке .

                                                                              

 

    Если  d=2, , то уравнение (1) имеет вид :

- уравнение колебания  мембраны.

                                                    

 

   Если  d=3, то волновое уравнение описывает:

     1) процессы распространения звука  в однородной среде;

     2) процессы распространения электромагнитных  волн в непроводящей среде.    

     При граничных условиях (3), уравнение (1) описывает колебания струны. У  которой один конец закреплен, другой свободен, т.е в любой момент времени t. На свободном конце x=l, натяжение (E- модуль упругости материала струны; S-площадь поперечного сечения струны) равно нулю (нет внешних сил) и, следовательно, . 

Решение задачи методом Фурье.

Требуется найти  решение уравнения

          (1)

    удовлетворяющее:

    начальным условиям:

          (2)

     

    и граничным условиям:

        (3)  

Будем искать (не равное тождественно нулю) частное  решения уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2) и граничным условиям (3), в виде

      u (x, t) = X (x) T (t).                                  

    Подставляя  в уравнение (1), получаем:

    X (x) T′′(t) = a² X′′(x) T(t).                                

    Разделив  переменные получим:

    

В левой части  этого равенства стоит функция, которая не зависит от x, справа – функция, не зависящая от t.

      => левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу.  Обозначим его через – λ, где λ > 0.  Получим следующее уравнение:

    

Из этих равенств получаем два уравнения:

    

                                                  (3)

                                              (4) 
 

Подставив в  уравнение u (x, t) = X (x) T (t) граничные условия, получаем                           

      

    

Откуда получим спектральную задачу Штурма -Лиувиля.

                         (3)

                     (4)

                         (5) 

Решаем задачу  (3):

Пусть , тогда

т.к 

получаем:

 

Решаем задачу (4): 

       

При , ,  
 

где произвольные постоянные.

Функция  имеет вид:

 удовлетворяет (1)-(3), значит следующий ряд является решением уравнения:

т. к  , то  

Это разложение функции  в ряд Фурье по: 

т.к  , то

Это разложение функции  в ряд Фурье по:   

Осталось подобрать  коэффициенты , :

 

Для нахождения частных решений задачи (1)-(3) остаётся подобрать функции , .

В качестве , возьмем функций:

 

тогда коэффициенты примут вид:

или

 

тогда коэффициенты примут вид:

 
 
 
 
 
 

Невязка(относительная  погрешность). 

Для проверки нашего приближенного решения используем невязку: 

      

Для вычисления  интегралов воспользуемся формулой средних прямоугольников: 

 

и модернизированной  формулой средних прямоугольников: 

 

где n-число разбиения отрезка (0,l), h-шаг. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Результаты  численных экспирементов.

Тест  I.

   1)Вычисления интеграла методом средних прямоугольников.

При   

         

      h = 0.2  

      
 
 
 
 
 

    

h=0,01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

h=0,001      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   1)Вычисления  интеграла модифицированным  методом средних  прямоугольников.

При   

         

    h=0.2

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    

    h=0.01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    h=0.001

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Тест  II.

   1)Вычисления  интеграла методом  средних прямоугольников.

      При

               

h = 0.2

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     h=0.01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     h=0.001 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   1)Вычисления  интеграла модифицированным методом средних прямоугольников.

      При

               

h = 0.2

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    

h = 0.01  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

h = 0.001  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Листинг программы.

    //----------------------------------------------------------------------------------------------------------- uses

      Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

      Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, TeEngine, Series, TeeProcs, Chart, DbChart, Math;

  type

      TForm1 = class(TForm)

        ComboBox1: TComboBox;

        Button1: TButton;

        Label1: TLabel;

        RadioGroup1: TRadioGroup;

        Edit1: TEdit;

        Edit2: TEdit;

        Edit3: TEdit;

        Edit4: TEdit;

        RadioGroup2: TRadioGroup;

        Memo1: TMemo;

        Memo2: TMemo;

        Edit5: TEdit;

        Edit6: TEdit;

        Chart1: TChart;

        Series1: TFastLineSeries;

       Series2: TFastLineSeries;

        procedure FormCreate(Sender: TObject);

        function phi(t: real): real;

        function psi(t: real): real;

        function v(t: real): real;

        function vt(t: real): real;

        function r1phi: real;

       

        function r1psi: real;

        function r2phi: real;

        function r2psi: real;

        function norm1phi: real;

        function norm2phi: real;

        function norm1psi: real;