Терия вероятности

2.45. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые будут распределены  по жребию для игры в двух группах по 10 человек. Какова вероятность, что двое наиболее сильных участников турнира  будут  играть  в разных группах?

Решение

Вероятность попадания в одну из групп равна  ½, так как всего групп 2, вероятность непопадания в одну из групп равна ½.

Вероятность, что двое наиболее сильных участников турнира  будут  играть  в разных группах равна вероятности того, что в первую группу попадет первый сильный участник, не попадет второй, плюс вероятность того, что в первую группу попадет второй сильный участник, не попадет первый.

Пусть А={в первую группу попал первый участник}

В={в первую группу попал второй участник}

Тогда р=р(А)* + р(В)* =1/2*1/2+1/2*1/2=1/2 

3.15. На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из которых 3 женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранной смене окажется не менее двух мужчин.

Решение

Вероятность того, что в случайно выбранной  смене окажется не менее двух мужчин равна вероятности того, что в смене окажутся 2 мужчин плюс вероятность того, что в смене окажутся 3 мужчин.

Используем  формулу Бернулли:

, где р=m/n=12/15=0,8, q=1-12/15=3/15=0,2

=

=

Р= =0,192+0,512=0,704 

3.45. Для некоторой местности среднее число дождливых дней в августе равно 11. Чему равна вероятность того, что первые два дня  августа будут дождливыми?

Решение

Вероятность дождливого дня в августе равна

Р=m/n=11/31, m=11, среднее число дождливых дней, n=31, количество дней в августе.

А1= {вероятность того, что первый день августа будет дождливым}

А2= {вероятность того, что второй день августа будет дождливым}

Р(А1)=11/31,  р(А2)=11/31

По теореме  умножения вероятностей, вероятность  события А,

где А={ первые два дня  августа будут дождливыми} равна:

р(А)=р(А1)*р(А2)=11/31*11/31=0,12 

4.15. Имеется 4  партии  деталей. В первой партии – 3 %  брака, во второй – 4 %,  в третьей и четвертой  брака  нет. Какова  вероятность  того, что взятая  наудачу  деталь  принадлежит  первой партии, если она оказалась бракованной?

Решение

Решаем, использую формулу Бейеса:

А={деталь оказалась бракованной}

В1={деталь из первой партии}

Р(В1)=1/4

=0,03 (деталь оказалась бракованной)

В2={деталь из второй партии}

Р(В2)=1/4

=0,04

В3={деталь из третьей партии}

Р(В3)=1/4

=0

В4={деталь из четвертой партии}

Р(В4)=1/4

=0

Тогда:

=0,42

Вероятность  того, что взятая  наудачу  деталь  принадлежит  первой партии, если она  оказалась бракованной равна 0,42 
 

4.45. Узлы подвески поступают на общий конвейер  с  двух  участков. Вероятность брака узла с первого участка 0,05, со второго - 0,1. Второй участок имеет производительность в 2,5 раза больше, чем  первый. Рабочий взял с конвейера подвеску и она оказалась годной. Какова вероятность того, что этот узел изготовлен на первом участке?

Решение

Решаем, использую формулу Бейеса:

А={подвеска оказалась годной}

В1={подвеска с первого участка}

Р(В1)=х

=1-0,05=0,95 (подвеска с первого  участка оказалась годной)

В2={подвеска со второго участка}

Р(В1)=2,5х

=1-0,1=0,9 (подвеска со второго  участка оказалась годной)

Тогда:

 

5.15. Вероятность появления события в каждом из  2100  независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 раз.

Решение

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где:  ,

Из условий  задачи: n=2100, p=0,7, q=1-p=0,3,  k1=1470, k2=2100

По таблице  находим: Ф(0)=0, Ф(30)=

 

6.15. Рассматривая неслучайную величину  "a", как частный вид случайной, построить для нее функцию распределения, найти ее математическое ожидание, дисперсию и третий начальный момент.

 

7.15. Непрерывная случайная  величина  X  задана законом распределения

                                 

Найти: 1) коэффициент C; 2) функцию распределения F(x);

3) математическое  ожидание и дисперсию X.

Решение 
 

8.15. Случайная величина  Х имеет равномерное распределение на интерва-

ле (2; 3). Найти плотность распределения, математическое ожидание  и дисперсию  случайной величины Х.

Решение

Плотность распределения случайной величины Х с равномерным распределением вычисляется по формуле:

В нашем  случае случайная величина  Х  имеет равномерное распределение  на интервале (2; 3), значит:

Математическое ожидание вычисляется по формуле:

M(X)=

Дисперсия вычисляется  по формуле:

0,083

9.15. Стрельба ведется от  точки Х вдоль прямой ОХ. Средняя дальность полета «а». Предполагается, что дальность  полета  распределена  по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 80 м. Найти, какой процент выпускаемых снарядов дает перелет от 120 м до 160 м.

Решение

При нормальном распределении, вероятность того, что величина х примет значение в некотором интервале, вычисляется по формуле:

, где  , , , среднее квадратическое отклонение, а, средняя дальность полета

=

Из таблицы, Ф(2)=0,4772, Ф(1,5)=0,4332

P(120<x<160)=0,4772-0,4332=0,044

Значит, процент выпускаемых снарядов, которые  дают перелет от 120 м до 160 м равен 4,4%. 

1.6. Бросаются две игральные кости: одна черная, а другая белая. Отмечается число очков, выпавших на каждой кости. Сколько элементарных событий соответствует тому, что а) сумма очков больше 10?  б) сумма очков - четная?

Решение

Пусть А={сумма очков больше 10}

Событию А соответствуют: А={56, 65, 66}

То есть, событию А соответствуют 3 элементарных события.

Пусть В={сумма очков четная}

Событию В соответствуют: В={11,13,15,22,24,26,31,33,35,42,44,46,51,53,55,62,64,66}

То есть, событию В соответствуют 18 элементарных событий. 

1.7. Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одной машины. Событие А - исправна машина, событие В_к( к = 1,2) - исправен k-й котел. Событие С означает работоспособность машинно-котельной установки, что будет в том случае, если исправна машина и хотя бы один  котел. Выразить события С и через А и В_к

Решение

С={ работоспособность машинно-котельной установки }

Так как  событие С имеет место в  том случае, если исправна машина и хотя бы один  котел, то

С=АВ1+АВ2+АВ1В2, где:

АВ1 - исправна машина и первый  котел

АВ2 - исправна машина и второй  котел

АВ1В2 - исправна машина и первый и второй  котел

={неработоспособность машинно-котельной установки }

Событие имеет место, если не исправна машина, при любых состояниях котлов; если исправна машина, но не исправны оба котла.

= +

- неисправна машина

- исправна машина, но не исправны оба котла. 

2.6. Какова вероятность того, что номер билета студента четный? Делится на пять? Оканчивается нулем? (Предполагается, что студенческих  билетов достаточно большое число).

Решение 

2.7. В партии готовой продукции, состоящей из 20 изделий, три бракованных. Определить вероятность того, что при случайном выборе 4  изделий одновременно  все  они  окажутся небракованными. Какова вероятность того, что бракованных и небракованных  изделий окажется поровну?

Решение

А)Пусть А={4 изделия окажутся небракованными}

Тогда:

А1={1-ое изделие окажется небракованным}

Р(А1)=m/n=17/20

А2={2-ое изделие окажется небракованным}

Р(А2)=m/n=16/19

А3={3-ое изделие окажется небракованным}

Р(А3)=m/n=15/18

А4={4-ое изделие окажется небракованным}

Р(А4)=m/n=14/17

По теореме  умножения вероятностей,

Р(А)=р(А1)*р(А2)*р(А3)*р(А4)=17/20*16/19*15/18*14/17=0,49

Значит, вероятность того, что при случайном выборе 4  изделий одновременно  все  они  окажутся небракованными равна 0,49.

Б) Вероятность  того, что бракованных и небракованных  изделий окажется поровну, равна  вероятность того, что 2 изделия из 4 окажутся небракованными.

Используем  формулу Бернулли:

, n=4, k=2, p=17/20, q=3/20

0,097

Значит, вероятность того, что бракованных и небракованных  изделий окажется поровну, равна 0,097.

3.6. Из полной колоды (52 карты) вынимают  одновременно  три карты. Найти вероятность того, что среди вынутых карт найдется хотя бы одна карта красной масти.

Решение

Вероятность появления хотя бы одного события  вычисляется по формуле:

Р=1- , где q – вероятность непоявления события.

Из задачи, вероятность появления красной  карты р=m/n=26/52=1/2, так как всего карт – 52, из них красных -26; значит q=1-p=1-1/2=1/2.