Теория вероятности

 

Задача №1

 

Брошены три игральные  кости. Найти вероятность следующих  событий:

а) на двух выпавших гранях появиться одно очко, а на третьей  грани - другое число очков;

б) на двух выпавших гранях появиться одинаковое число очков, а на третьей грани - другое число очков;

в) на всех выпавших гранях появиться разное число очков.

Решение:

а) А - на двух выпавших гранях появиться одно очко, а на третьей грани - другое число очков;

Событие А представляет собой произведение трёх событий:

А1,А2 – появление на гранях первого и второго кубика одного очка;

А3 – появление на грани  третьего кубика другого числа очков.

P(А) =Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)

; ; ,

где n- число благоприятных исходов;

      m- общее число исходов.

 

б) А - на двух выпавших гранях появиться одинаковое число очков, а на третьей грани - другое число очков;

Событие А представляет собой произведение трёх событий:

А1,А2 – появление на гранях первого и второго кубика одинакового числа очков;

А3 – появление на грани  третьего кубика другого числа очков.

P(А) =Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)

; ; ,

 

где n- число благоприятных исходов;

      m- общее число исходов.

 

в) А - на всех выпавших гранях появиться разное число очков;

Событие А представляет собой произведение трёх событий:

А1,А2,А3 – появление на гранях первого, второго и третьего кубика различного числа очков.

P(А) =Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)

; ; ,

где n- число благоприятных исходов;

      m- общее число исходов.

 

 

Задача №2

Случайная величина имеет распределение Эрланга первого порядка . Определить вероятность попадания случайной величины X в интервал .

 

Решение:

 

Функцию распределения  найдём по формуле:

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал найдём по формуле:

 

 

 

Задача №3

Построить гистограмму  относительных частот по данному  распределению выборки случайной  величины Х. Определить математическое ожидание и дисперсию.

Границы интервалов	0-1	1-2	2-3	3-4	4-5	5-6	6-7	7-8
Частоты	50	20	10	7	5	4	3	1

 

Решение:

Для построения гистограммы  распределения вычислим вероятности попадания случайной величины Х в i-е интервалы по формуле:

 

 

где - общее число измерений случайной величины Х;

       r – число интервалов.

 

     

Далее вычисляем значение плотности  вероятности на i-х интервалах по формуле:

 

 

где - длина интервала.

В данном случае .

 

 

 

 

 

Построим гистограмму распределения:

Вычислим выборочное математическое ожидание по формуле:

где - середины интервалов.

После подстановки численных  значений получим:

Вычислим выборочное значение дисперсии по формуле:

После подстановки численных  значений получим:

 

Задача №4

По условию задачи №3 проверить гипотезу об экспоненциальном распределении случайной величины X при уровне значимости .

 

Решение:

По условию задачи 3 вычислим значение исправленной выборочной дисперсии:

При экспоненциальном законе распределения плотность вероятности случайной величины X определяется формулой:

;  ;

Для экспоненциального  закона распределения F(X) определяется формулой:

Вычисляем вероятность  попадания случайной величины в  каждый интервал (по условию задачи 3) по формуле:

После вычисления вероятностей вычислим теоретические частоты попадания случайной величины в i-й интервал по формуле:

По значениям  и экспериментальным частотам , приведённым в задаче 3, вычисляют значение .

Результаты вычислений сведены в таблицу 1.

 

 

Таблица 1

№
1	0	1	0.433	43.3	50	1.04
2	1	2	0.245	24.5	20	0.83
3	2	3	0.139	13.9	10	1.09
4	3	4	0.079	7.9	7	0.1
5	4	5	0.045	4.5	5	0.06
6	5	6	0.025	2.5	4	0.9
7	6	7	0.015	1.5	3	1.5
8	7	8	0.008	0.8	1	0.05

                                             =5.57 При заданном уровне значимости и числе степеней свободы k находим критическое значение .

Число степеней свободы k определяется по формуле:

где  r – число интервалов;

       s – число параметров теоретического закона распределения.   

Так как  < , то гипотезу о экспоненциальном законе распределения случайной величины X можно принять и считать что случайная величина X заданная выборкой задачи 3, имеет экспоненциальный закон распределения с математическим ожиданием .

 

 

Список использованной литературы

 

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Уч. пос. – М.: Высшая школа, 2003.
2. Карлов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика: Методические указания.– Калининград: БИЭФ, 2002.
3. Карлов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов: Уч. пос. – Калининград: БИЭФ, 2005.