Теория вероятности

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Определение. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных  причин, которые заранее не могут быть учтены.

  Существует два  типа случайных величин — дискретные  и непрерывные. 

Определение. Переменная Х называется случайной величиной если каждому элементарному случайному событию поставлено в соответствует определенное значение Х, то есть , Х=Х(), причем случайное событие (Х()), где хR.

Определение. Случайная величина называется дискретной (ДСВ), если множество её значений конечно или счетно, то есть может быть занумеровано с помощью чисел натурального множества.

Если значения случайных  величин не отдельны друг от друга, они непрерывно заполняют некоторый  промежуток. Такие случайные величины называются непрерывными.

Определение. Случайная величина называется непрерывной (НСВ). Если ее значения непрерывно заполняют некоторый промежуток (конечный или бесконечный) или несколько промежутков числовой оси.

Числовые  характеристики случайной  величины.

  Пусть непрерывная  случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b].

1. Определение. Математическим ожиданием  непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

Если возможные  значения случайной величины рассматриваются  на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

 При этом, конечно,  предполагается, что несобственный  интеграл сходится.

2. Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

По аналогии с  дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии  используется формула:

3. Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

4. Определение. Модой М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

            Если многоугольник распределения  для дискретной случайной величины  или кривая распределения для  непрерывной случайной величины  имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется  двухмодальным или многомодальным.

            Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

5. Определение. Медианой MD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

           Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

            Отметим, что если распределение  одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

6. Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Хk.

Для дискретной случайной  величины:

Для непрерывной случайной величины: 

Начальный момент первого  порядка равен математическому  ожиданию.

7. Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины

Для дискретной случайной  величины:

Для непрерывной случайной  величины:

            Центральный момент первого порядка  всегда равен нулю, а центральный  момент второго порядка равен  дисперсии. Центральный момент  третьего порядка характеризует  асимметрию распределения.

8. Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.

 

9. Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом.

Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:

  Абсолютный начальный момент:

  Абсолютный центральный момент:

Абсолютный центральный  момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература:

1. Учебное пособие Теория вероятностей. Авторы: С.А. Медынский, Н.В. Запатрина. ЧВИИРЕ 2005 год.
2. Учебное пособие для вузов Теория вероятностей и математическая статистика. Автор: В.Е. Гмурман. М.: Высш. Шк., 2004 год.
3. Учебное - математическое пособие для подготовки к контрольной работе по теме Случайные величины. Автор: Волкова Т.М. ЧВИИРЕ 2000 год