Содержание

   Задания и их решения

 
 

Задание№ 1 (185).

      Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика одинакового размера, которые  затем перемешали. Найти вероятность того, что случайно извлеченный кубик  имеет две окрашенные грани. 

Решение:  
 

Рисунок 1. 

      На  рисунке 1.  показана одна из граней распиленного куба, на каждом ребре куба при его распилке на 64 кубика образуется по два кубика которые имеют две окрашенные грани, на рисунке они отмечены штриховкой. Всего куб имеет 12 ребер и значит после того как куб будет распилен на 64 кубика , среди них будет 12*2 =24 кубика с двумя окрашенными гранями.

Ответ: P(A)=m/n=24/64=3/8. 
 

Задание№ 2(426).

        На полке в случайном порядке стоит 10 книг, причем 4 из них по математике. Случайно взяли три книги. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна по математике.

Решение:

Событии В- все  три взятые книги по математике. 

 

Событие А –  вероятность того, что среди взятых трех книг окажется хотя бы одна по математике.

P(A)=1- P(B)=1-1/6=5/6. 

Ответ:  

Задание №3(067).

        В коробке 20 лампочек, причем 4 из  них на 220В, а 16-на 127 В. Половина тех и других матовые. Случайно взято 2 лампы. Найти вероятность того, что они разного напряжения и обе матовые. 

Решение:

      Исходя  из условия задачи в коробке находится  две матовых лампочки на 220В и 8 матовых лампочек на 127В.Событие А- первая взятая матововая лампочка на 220В, а вторая на 127В. Событии В- первая взятая матововая лампочка на 127В, а вторая на 220В.

Событие С- обе  взятые лампочки матовые и на разное напряжение.

,   

Событии С произойдет тогда, когда произойдет либо событие А, либо событие В, получаем: 

  

Ответ:  

Задание №4(248.Д6).

        В спартакиаде участвуют 20 спортсменов: 12 лыжников и 8 конькобежцев. Вероятность выполнить норму лыжником р₁= 0,8, а конькобежцем – р₂= 0,4. Случайно вызвано два спортсмена. найти вероятность того, что они оба выполнят норму. Ответ ввести в виде десятичной дроби, округлив до 0,001. 
 

Решение:

      Пусть А{ оба спортсмена выполнили норму}, гипотезы:

Н₁ {оба  спортсмена лыжники},

H₂ { первый лыжник, а второй конькобежец},

H₃{ первый конькобежец, а второй лыжник },

H4{ оба спортсмена конькобежцы}.

Применяя формулы  умножения вероятностей получаем: 

,     P(A/H₁)=0,8·0,8=0,64; 

,   P(A/H₂)=0,8·0,4=0,32; 

,   P(A/H₃)=0,4·0,8=0,32; 

  ,   P(A/H₄)=0,4·0,4=0,16; 

Из формулы  полной вероятности получаем: 

 

Ответ:  

Задание №5.

        Два стрелка А и В независимо друг от друга стреляют поочередно по некой цели, имея по два патрона, каждый до первого попадания одним из стрелков или до полного израсходования патронов. Вероятность попадания при одном выстреле стрелком А равна р₁=0,2, а стрелком В – р₂= 0,4. Стрельбу начинает А. Х – общее число промахов. Найти      ( все ответы вводить в виде десятичной дроби) : а) (45.РЛ) ряд распределения Х; б) (6Д) функцию распределения  F(x), в ответ ввести F(3,5); в) (ДА) m_x; г) (80) D_x ( округлить до 0,001); д) (5Р) Р(1,5≤ х ≤ 3,5). 

      Решение:

а) Случайная  величина Х может принимать значения 0,1,2,3,4. Найдем вероятности этих значений:

P(X=0) = 0,2 ( первый стрелок попал в цель с первого раза );

P(X=1) =(1-Р₁)∙Р₂=0,8∙0,4=0,32 ( второй стрелок попал в цель с первого раза );

P( X=2)= (1-Р₁)· (1-Р₂)∙ Р₁= 0,8·0,6·0,2=0,096   ( первый стрелок попал в цель со второго раза );

P( X=3)= (1-Р₁)· (1-Р₂)∙ (1-Р₁)· Р₂= 0,8·0,6·0,8·0,4=0,1536 ( второй стрелок попал в цель со второго раза );

P(X=4)= (1-Р₁)· (1-Р₂)∙ (1-Р₁)· (1-Р₂)=0,8·0,8·0,6·0,6=0,2304 ( израсходованы все патроны и не один стрелок не попал);

Получаем ряд  распределения: 

 

б) Функцию распределения  F(x) найдем исходя из формулы: 

,  где  

Получаем: 
 

 

Ответ: F(3,5)=0,7696. 

в) математическое ожидание найдем, применяя формулу: 

 

m_x=0·0,2+1·0,32+2·0,096+3·0,1536+4·0,2304=1,89 
 
 

г) дисперсия случайной величины равна: 

D[x]= M[x²]- m_x² =0·0,2 + 1·0,32+ 4·0,096 + 9·0,1536 + 16·0,2304 - (1,89)² = 

= 5,7728 – 3,5721 = 2,201. 

д) P(1,5<x<3,5) =  F(x2)- F(x1) =  F (3,5) – F (1,5) = 0,7696 – 0,52 = 0,2496. 

Задание:

      6. Задана плотность распределения вероятностей 

 

Найти: а) (281) константу а; б) (9А1.РП) функцию распределения F(x), в ответ ввести значения F(1), F(2); в) (971) m_x; г) (1Т1) D_x; д) (151)  Р(1≤ х ≤2). 

Решение:

 а) из условия нормирования следует, что  . Отсюда данное выражение равно 1, когда и , этому удовлетворяет а= 2.

б) Если х≤0, то ρ(х)=0, отсюда .

При 0< x ≤2 по формуле  
 

 получаем  . 

Если х>2, то .

Получаем, 
 

 
 

,   

в) математическое ожидание

г) дисперсия  D[x]= M[x²]- m_x² 

 

Отсюда   

д)  

Задание №7(ДС0).

      Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах,  ошибка Х которых распределена нормально, причем   m_x=0, σ_x=0,2 г. Норма веса заряда 2,3 г.  Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда 2,7 г. Ответ округлить до 0,001. 

Решение:  Допустимый вес порохового заряда находится в интервале значений от 2,3 до 2,7, отсюда находим, что ошибка взвешивания должна находиться в интервале [0;0,4]. Ружье может быть повреждено, если ошибка взвешивания порохового заряда превысит

0,4 г.

То есть нам  нужно найти:  

  Так как  , где , отсюда получаем

    

 ;           

   

 

Ответ: