Теория графов

www.ped-kopilka.ru

ТЕОРИЯ ГРАФОВ

Графические представления  в широком смысле – любые наглядные  отображения исследуемой системы, процесса,  явления на плоскости. К ним могут быть отнесены рисунки, чертежи, графики зависимостей характеристик, планы-карты местности, блок-схемы процессов, диаграммы и т. д. Такие изображения наглядно представляют различные взаимосвязи, взаимообусловленности: топологическое (пространственное) расположение объектов, хронологические (временные) зависимости процессов и явлений, логические, структурные, причинно-следственные и другие взаимосвязи.

Графические представления – удобный способ иллюстрации содержания различных  понятий, относящихся к другим способам формализованных представлений (например, диаграммы Венна и другие графические  иллюстрации основных теоретико-множественных и логических представлений).

Всё более  распространенными становятся представления  количественных характеристик, взаимосвязей между объектами в виде разного рода одно-, двух- и более мерных гистограмм, круговых диаграмм, других аналогичных способов представления в виде тех или иных геометрических фигур, по наглядным характеристикам которых (высоте, ширине, площади, радиусу и пр.) можно судить о количественных соотношениях сравниваемых объектов, значительно упрощая их анализ.

Мощным и наиболее исследованным классом объектов, относящихся к графическим представлениям, являются так называемые графы, изучаемые в теории графов.

Теория  графов – это раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. Как прикладная дисциплина теория графов позволяет описывать и исследовать многие технические, экономические, биологические и социальные системы.

 

1. Основные понятия теории графов

Граф – это система, которая интуитивно может быть рассмотрена как множество кружков и множество соединяющих их линий (геометрический способ задания графа – см. рисунок 1). Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками – дугами, без стрелок – рёбрами.

Граф, в котором  направление линий не выделяется (все линии являются ребрами), называется неориентированным; граф, в котором направление линий принципиально (линии являются дугами) называется ориентированным.

Теория графов может рассматриваться как раздел дискретной математики (точнее – теории множеств), и тогда определение графа таково:

Граф  – это конечное множество Х, состоящее из n элементов называемых вершинами графа, и подмножество V декартова произведения называемое множеством дуг.

Ориентированным графом G (орграфом) называется совокупность (Х, V).

Неориентированным графом называется совокупность множеств Х и множества неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству  Х.

Дугу между  вершинами i и j, будем обозначать (i, j). Число дуг графа будем обозначать

Подграфом называется часть графа, образованная подмножеством вершин вместе со всеми рёбрами (дугами), соединяющими вершины из этого множества. Если в графе удалить часть рёбер (дуг), то получим частичный граф.

Две вершины  называются смежными, если они соединены ребром (дугой). Смежные вершины называются граничными вершинами соответствующего ребра (дуги), а это ребро (дуга) - инцидентным соответствующим вершинам.

Граф называется полным, если каждые две вершины его соединены одним и только одним ребром.

Граф, для которого из следует называется симметричным. Если из следует , то соответствующий граф называется антисимметричным.

Язык графов оказывается удобным для описания многих физических, технических, экономических, биологических, социальных и других систем.

Приведем ряд примеров приложений теории графов.

1. «Транспортные»  задачи, в которых вершинами графа являются пункты, а ребра – дороги (автомобильные, железные и др.) или другие транспортные (например, авиационные) маршруты. Другой пример – сети снабжения (энергоснабжения, газоснабжения, снабжения товарами и т. д.), в которых вершинами являются пункты производства и потребления, а ребрами – возможные маршруты перемещения (линии электропередач, газопроводы, дороги и т. д.) Соответствующий класс задач оптимизации потоков грузов, размещения пунктов производства и потребления и т. д. иногда называется задачами обеспечения или задачами о размещении. Их подклассом являются задачи о грузоперевозках.

2. «Технологические  задачи», в которых вершины  отражают производственные элементы (заводы, цеха, станки и т. д.), а дуги – потоки сырья, материалов и продукции между ними, заключаются в определении оптимальной загрузки производственных элементов и обеспечивающих эту загрузку потоков.

3. Обменные  схемы, являющиеся моделями таких  явлений как бартер, взаимозачёты  и т. д. Вершины графа при  этом описывают участников обменной схемы (цепочки), а дуги – потоки материальных и финансовых ресурсов между ними. Задача заключается в определении цепочки обменов, оптимальной с точки зрения, например, организатора обмена и согласованной с интересами участников цепочки и существующими ограничениями.

4. Управление  проектами. С точки зрения теории  графов – совокупность операций  и зависимостей между ними (сетевой  график). Примером является проект строительства некоторого объекта. Совокупность моделей и методов, использующих язык и результаты теории графов и ориентированных на решение задач управления проектами, получила название календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ). В рамка КСПУ решаются задачи определения последовательности выполнения операций и распределения ресурсов между ними, оптимальных с точки зрения тех или иных критериев (времени выполнения проекта, затрат риска и др.).

5. Модели коллектива  и групп, используемые в социологии, основываются на представлении людей или их групп в виде вершин, а отношений между ними (например, отношений знакомства, доверия, симпатии и т. д.) – в виде рёбер или дуг.  Тем самым решаются задачи исследования структуры социальных групп, их сравнения и т. д.

6. Модели организационных  структур, в которых вершинами  являются элементы организационной системы, а рёбрами или дугами – связи (информационные, управляющие, технологические и др.) между ними.

 

2. Степень вершины

Вершины в  графе могут отличаться друг от друга  тем, скольким рёбрам они принадлежат.

Степень вершины называется число рёбер графа, которым принадлежит эта вершина. Степень графа ещё называют его валентностью и обозначают . Вершина графа, для которой является изолированной, для которой висячей.

Вершина называется нечётной, если нечётное число. Вершина называется чётной, если чётное число. Степень каждой вершины полного графа на единицу меньше числа его вершин.

В графе  сумма степеней всех его вершин – число чётное, равное удвоенному числу рёбер графа. Число нечётных вершин любого графа чётно. Во всяком графе с n вершинами, где всегда найдутся, по меньшей мере, две вершины с одинаковыми степенями.

Если в графе  с n вершинами в точности две вершины имеют одинаковую степень, то в этом графе всегда найдётся либо в точности одна вершина степени 0, либо в точности одна вершина степени

 

3. Маршруты, цепи, циклы

Маршрутом в  графе называется чередующаяся последовательность вершин и рёбер, в которой любые два соседних элемента инцидентны:

Если  то маршрут замкнут, в противном случае открыт.

Путём называется последовательность дуг (в ориентированном графе), такая, что конец одной дуги является началом другой дуги.

Простой путь – путь, в котором ни одна дуга не встречается дважды.

Контур – путь, у которого конечная вершина совпадает с начальной вершиной.

Длиной  пути (контура) называется число дуг пути (или сумма длин его дуг, если последние заданы).

Цепью называется множество рёбер (в неориентированном графе), которые можно расположить так, что конец (в этом расположении) одного ребра является началом другого. Другое определение: цепь – последовательность смежных вершин. Замкнутая цепь называется циклом. Можно определить простые и элементарные цепи.

Элементарная  цепь (цикл, путь, контур), проходящая через  все вершины графа называется гамильтоновой цепью.

Простая цепь (цикл, путь, контур), содержащая все рёбра (дуги) графа называется эйлеровой цепью.

Если любые  две вершины графа можно соединить  цепью, то граф называется связным. Если граф не является связным, то его можно разбить на связные подграфы, называемые компонентами.

Связностью графа называется минимальное число рёбер, после удаления которых граф становится несвязным.

 

4. Ориентированные графы

Если элементы множества Е графа  упорядоченные пары, то граф называется ориентированным или орграфом.

Ребро графа G называется ориентированным, если одну вершину считают началом ребра, а другую – концом, на рисунке его изображают стрелкой между вершинами. Таким образом, граф, все рёбра которого ориентированы, называется ориентированным графом.

Одна и та же вершина ориентированного графа может служить началом для одних рёбер и концом для других, поэтому различают две степени вершины: степень выхода и степень входа.

Степенью выхода вершины  орграфа называется число выходящих  из вершины рёбер.

Степенью входа вершины орграфа называется число входящих в вершину рёбер.

В орграфах в зависимости  от сочетаний степеней входа и  выхода для данной вершины рассматривается три случая.

Изолированной вершиной называется вершина, у которой и степень входа и степень выхода равна 0.

Источником называется вершина, степень выхода которой положительна, а степень входа равна 0.

Стоком называется вершина, степень входа которой положительна, а степень выхода равна 0.

Путём в ориентированном графе называется последовательность ориентированных рёбер, т. е. для  орграфов цепь называется путём.

Простым путём в ориентированном  графе называется путь, в котором  ни одна вершина не содержится более одного раза.

Замкнутый путь в ориентированном  графе называется ориентированным  циклом или контуром.

Длиной пути называется число рёбер в этом пути.

Полным ориентированным  графом называется граф, каждая пара вершин которого соединена в точности одним  ориентированным ребром.

Всякий полный ориентированный  граф с n вершинами имеет простой  ориентированный путь, проходящий через все вершины графа.

Петлёй называется ребро, у которого начальная и конечная вершины совпадают. Петля обычно считается неориентированной.

Мультиграфом называется граф, в котором пара вершин соединяется несколькими различными рёбрами. Для ориентированного мультиграфа вершины  и могут соединяться несколькими рёбрами в каждом из направлений.

 

5. Изоморфизм графов

Два графа  и называются изоморфными, если между множествами их вершин существует биективное (взаимнооднозначное) соответствие, такое, что вершины соединены рёбрами в одном из графов  в том и только в том случае, когда соответствующие им вершины соединены в другом графе. Если рёбра ориентированы, то их направление в изоморфных графах должно совпадать. Изоморфизм графов есть отношение эквивалентности, так как обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Для того чтобы граф был изоморфен графу необходимо и достаточно существования такой подстановки, которая бы установила взаимнооднозначное соответствие между вершинами графа, а также между их рёбрами.

При замене графа  любым ему изоморфным все свойства графа сохраняются. Строго говоря, графы отличающиеся только нумерацией вершин, являются изоморфными.

Алгоритм распознания  изоморфизма двух графов   и

1. Подсчитаем  число вершин каждого графа  (число вершин должно совпадать,  в противном случае графы неизоморфные).

2. Выписываем  все элементы обоих графов  в естественной упорядоченности  и определяем пары и для каждого элемента, где число исходов для каждой вершины графов и , а число заходов для соответствующих графов.

3. Для каждого  элемента х графа  ищем такой элемент у графа что выполняется условие: число исходов х совпадает с числом исходов у, и число заходов х совпадает с числом заходов у. Найденные элементы х и у соединяем ребром, т. е. строим граф соответствия (если соответствия нет, то графы не изоморфны).

4. Выписываем  подстановку, которая переводит  граф в граф .