Теоремы о среднем. Теорема Лагранжа

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БАЙКАЛЬСКИЙ ЭКОНОМИКО-ПРАВОВОЙ ИНСТИТУТ

Юридический факультет

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «Юриспруденция»

Контрольная работа

ПО ДИСЦЕПЛИНЕ «Математика»

1.      Теоремы о среднем. Теорема Лагранжа.

Выполнил студент заочной формы обучения

Карпов Максим Александрович(__________)

3 курс                               Логин_______

                                          Проверил_____________________________

Оценка___________Подпись____________

Приаргунское РИА

г. Улан-Удэ

2010

Содержание.

Введение………………………………………………………………………...3

Вопрос 1. Теоремы о среднем. Терема Лагранжа……………………………4

Заключение…………………………………………………………………….13

Список использованной литературы……………………………...................14

Введение.

               При написании этой контрольной работы я хотел бы процитировать идеи Ф. Клейна, выдвинутые им по поводу геометрии. Клейн говорил, что нелепо при начальном обучении доказывать теоремы, которые кажутся учащимся очевидными. Он считал, что сначала надо сделать ясным, что надо и почему надо доказывать, т. е. сначала сделать теорему неочевидной, и только после этого переходить к ее доказательству. Конечно, это надо делать не по отношению к единичной теореме, а по отношению к целому разделу. Мне кажется, что эти соображения относятся и к так называемой высшей математике. Действительно, если объекты геометрии при самой элементарной абстракции можно видеть в окружающем мире, то для того, чтобы видеть объекты высшей математики, нужна привычка к более глубокой абстракции.
 Исходя из этих соображений, например, понятие предела, которое требует предварительного интуитивного прочувствования, можно развить, давая предварительно примеры, продвигающие учащегося к пониманию этого понятия, Доказывать теоремы о пределах в таком небольшом курсе не только бесполезно, но, пожалуй, даже вредно. Эти теоремы должны сообщаться учащимся в качестве свойств предела, присущих ему, т. е., собственно говоря, включаться в определение предела.

Теоремы о среднем. Теорема Лагранжа.

1. Теорема Роля.

Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.

Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652–1719).

Теорема 1.1. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка , обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то, согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимума и максимума (рис. 1.1).

Если , функция постоянна, то есть . Но в этом случае для любого .

В общем случае , и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что . Тогда существует точка , в которой .

Рис. 1.1

Так как рассматриваемое значение является максимальным, то для него справедливо, что для и .

Рассмотрим пределы

для

и

для .

Так как оба предела равны производной функции в одной и той же точке , то они равны между собой. Значит, из одновременности и следует, что , что и требовалось доказать.

Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка функция не обращается в ноль, но принимает равные значения . Доказательство проводится аналогично.

Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось в двух точках , или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между и касательная к кривой параллельна оси .

Необходимо отметить, что если не во всех точках у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции (рис. 1.2):

Рис. 1.2

Данная функция непрерывна на отрезке и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.

2. Теорема Лагранжа

Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736–1813).

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Рассмотрим график функции (рис. 2.1).

Проведем хорду, соединяющую точки и , и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:

,

откуда:

Рис. 2.1

и .

Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:

.

Полученная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление в точках и показывает, что . Значит, функция на отрезке удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка , в которой .

Вычислим производную функции :

.

Согласно теореме Ролля в точке производная , то есть и

,

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля.

Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:

,

то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.

3. Теорема Коши

Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789–1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.

Теорема. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Так как во всех точках , то отсюда следует, что . В противном случае, как следует из теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка , в которой .

Составим вспомогательную функцию

.

Данная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках и дает: . Значит, функция удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка , в которой .

Вычислим производную :

.

Из условия следует, что

и ,

что и требовалось доказать.

В случае, когда , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.

4. Правило Лопиталя

На основании теоремы Коши о среднем можно получить удобный метод вычисления некоторых пределов, называемый правилом Лопиталя (1661–1704).

Теорема. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы во всех точках полуинтервала и при совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при , то этот же предел имеет отношение и самих функций, то есть .

Проведем доказательство данной теоремы только для случая, когда . Так как пределы у обеих функций одинаковы, то доопределим их на отрезке , положив, что при выполняется равенство .

Возьмем точку . Так как функции и удовлетворяют теореме Коши (п. 2.14), применим ее на отрезке :

, где .

Так как , то

.

Перейдем в данном равенстве к пределу:

.

Но если , то и , находящееся между точками и , будет стремится к , значит

.

Отсюда, если , то и , то есть

,

что и требовалось доказать.

Если при , то снова получается неопределенность вида и правило Лопиталя можно применять снова, то есть

Доказательство правила Лопиталя для случая проводится сложнее, и мы его рассматривать не будем.

При раскрытии неопределенностей типа , , , , правило Лопиталя применять непосредственно нельзя. Вначале все эти неопределенности необходимо преобразовать к виду или .

Правило Лопиталя может быть использовано при сравнении роста функций, в случае когда . Наибольший практический интерес здесь представляют функции , , . Для этого найдем пределы их отношений:

1) , значит, растет быстрее, чем ;

2) , значит, растет быстрее, чем ;

3) , значит, растет быстрее, чем .

Отсюда следует, что быстрее всего растет , затем и, наконец, .

Заключение.

Математика все более и более отстает от потребностей человечества, погрязла в самокопании, сосредоточилась на проблемах, которые можно назвать чисто грамматическими проблемами (имея в виду, что математика – официальный язык нескольких важнейших наук). А у человечества ныне нет, кроме математики, иных способов решить многие жизненно важные свои проблемы (в том числе и проблемы устройства общества).                                                                       Математика перестала быть узкоспециальной наукой, - некоторые ее понятия, образы, факты, приемы мышления, способы понимать окружающий нас мир и нас самих, - стали частью обыденного мышления, стали частью общечеловеческой культуры.

Список использованной литературы.

1.       Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшая школа» изд. 5, 1977.

2.       Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005.

3.       Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003.

4.       Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И., Шикин Е.В. Вся высшая математика Интегральное исчисление. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия Том 2.: Учебник – 3-е изд. ЛКИ, 2007.

5.       Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002.

6. В.А.Ильин,    Э.Г.Позняк.    Аналитическая    геометрия.    «Наука»,

М.1982.

7. Н.А.Фролов. Курс математического анализа. «Просвещение», М. -

1994.

8. Высшая математика. Интегральное исчисление. Дифференциальные

уравнения. М. - 1987.

9. Данко   П.Е   и   др.   Высшая   математика   в   примерах   и   задачах:

Учеб.пособие для студентов втузов. В 2-х частях. Высш.шк., 1986.

10. Лютикас B.C. Теория вероятностей. М., «Просвещение», 1990.

14