Теорема Виета

Мы исходили из условий существования и положительности корней и пришли к необходимости для этого полученных условий. Проверим, что они и достаточны для существования и положительности корней. Из следует, что корни есть. Из следует, что их произведение положительно, т.е. корни одного знака. Из , т.е. из положительности суммы, следует положительность обоих корней. Итак, условия необходимы и достаточны.

Решая все  условия, получим 

Ответ:

Задача. Числа  и – корни квадратного трехчлена с целыми коэффициентами p и q. Может ли

1. сумма оказаться нецелым числом?
2. разность оказаться нецелым числом?

Решение.

1. По теореме Виета выражаем . Это целое число.
2. Аналогично, используя также формулу для корней, находим, что . Это нецелое число. Например, трехчлен имеет корни, но для них, согласно полученному разложению .

Ответ: а) нет. б) да.

Задача. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения  минимальна и каково это минимальное значение?

Решение.

Для существования корней необходимо и достаточно, чтобы  , т.е. или . При таких значениях а по теореме Виета , откуда . Полученный квадратный трехчлен рассматриваемый для всех значений а имеет наименьшее значение при . Но это значение находится вне условия или , только на котором и нужно искать наименьшее значение трехчлена. На промежутке , а значит, и на функция у(а) убывает, ее наименьшее значение здесь равно . На промежутке , а значит, и на функция у(а) возрастает, ее наименьше значение здесь равно . Значит, минимальное значение сумма имеет при а = – 2 и оно равно 2.

Ответ: 2 при а = – 2

 

IV. Применение теоремы Виета в централизованном тестировании

Пример 1. Если и – корни уравнения , то выражение равно

1)  2)  3)  4)  5)

Решение.

Сделаем преобразование выражения  таким образом, чтобы можно было применять теорему Виета:

В полученное выражение  подставим значение . Итак,

Ответ: 1.

Пример 2. Пусть  и – корни квадратного трехчлена . Тогда квадратное уравнение, корни которого равны и , имеет вид

1)  2)  3)  4)

Решение.

Применяя к данному  квадратному трехчлену теорему  Виета, получим, что . Тогда сумма и произведение корней искомого квадратного уравнения соответственно равны . Следовательно, искомое квадратное уравнение имеет вид: .

Ответ: 2.

Пример 3. Квадратное уравнение, корнями которого являются числа, обратные корням уравнения , имеет вид

1)  2)  3)  4)

Решение.

Если обозначить  и – корни заданного квадратного уравнения, то по теореме Виета . Корнями исходного квадратного уравнения являются числа и . Найдем сумму и произведение этих чисел: . Следовательно, искомое уравнение имеет вид или .

Ответ: 3.

Пример 4. Число b является одним из корней уравнения при b, равном

1)  2)  3)  4)  5)

Решение.

Запишем теорему Виета  для данного уравнения: , где и – корни уравнения. Определим из второго равенства и подставим в первое:

Подстановкой этих значений в выражение  убеждаемся, что D > 0.

Ответ: 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

В 16 веке европейские  математики сумели, наконец, сравниться в мудрости с древними греками и превзойти их там, где успехи эллинов были не велики. В частности, Франсуа Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т.е. решить задачу в общем виде.

Теорема Франсуа Виета  стала самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета  достойна восхищения, тем более что  ее можно обобщить на многочлены любой  степени. При использовании в  решении теоремы Виета скорость решения возрастает в несколько раз.

Предложенная работа позволяет повторить все основные приемы решения, связанные с применением  теоремы Виета и обратной теоремы. Рекомендуется учащимся выпускных  классов для подготовки к итоговой аттестации, а также учащимся, интересующимся математикой.

 

 

 

 

 

 

Литература

1. Энциклопедический словарь юного математика. Составитель А.П. Савин
2. История математики в школе. Г.И. Глейзер
3. Математика 8. Учебник под редакцией Г.В. Дорофеев
4. ФЗФТШ при МФТИ. Методические указания к контрольной работе. Составители В.И. Чехлов и С.Е. Городецкий
5. Пособие по математике (в помощь участникам централизованного тестирования). Т.М. Королева, Е.Г. Маркарян и др.