Статистический анализ и моделирование процессов авторегресии и скользящего среднего

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

 «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА» (СГАУ)

Кафедра технической  кибернетики

 

СТАТИСТИЧЕСКИЙ  АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ПРОЦЕССОВ АВТОРЕГРЕССИИ И СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО

курсовая  работа по дисциплине «Теория случайных процессов»

Вариант № 2

Выполнил: Валиев Рамис Ф., гр.638

Проверил: профессор Храмов А.Г.

Оценка: _____________________

 

 

Самара 2009

Аннотация

Курсовая работа

Отчет: 22 стр., 7 рис., 4 табл., 1 приложение

ВЫБОРКА, СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС, МОДЕЛИ АВТОРЕГРЕССИИ И СКОЛЬЗЯЩЕГО  СРЕДНЕГО, КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ, СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ.

Оценены параметры исходной выборки, построены модели АРСС, оценены теоретические параметры наилучших моделей, смоделированы случайные процессы по трем наилучшим моделям. Разработана программа, полностью реализующая решение поставленной задачи.

Программная среда – математический пакет SciLab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Задание 3

1. Моментные функции исходного процесса 4

2. Построение моделей  АРСС 6

2.1 Описание метода 6

2.2 Примеры расчетов. 7

3.Теоретические нормированные корреляционные функции моделей 9

4. Оценка спектральной плотности мощности 10

5. Моделирование 12

6. Оценка моментных функций смоделированного процесса 13

Заключение 14

Список использованной литературы 15

Приложение A Текст программы 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание

Дана реализация стационарного  в широком смысле эргодического  случайного процесса с дискретным временем (стационарная случайная последовательность, временной ряд) – выборка из 5000 последовательных значений (отсчётов) процесса.

1. Оценить моментные функции случайного процесса, рассчитав выборочное среднее, выборочную дисперсию и выборочную нормированную корреляционную функцию. Оценить радиус корреляции случайного процесса. Изобразить графически оценку нормированной корреляционной функции.
2. Построить модели авторегрессии (АР), модели скользящего среднего (СС) и смешанные модели авторегрессии и скользящего среднего (АРСС) до третьего порядка включительно: АРСС (M, N), M = 0, 1, 2, 3; N = 0, 1, 2, 3. Каждую из построенных моделей записать в явном виде с численными значениями параметров.
3. Рассчитать теоретические нормированные корреляционные функции выходной последовательности для каждой из построенных выше моделей. На основе сравнения выборочной и теоретических нормированных корреляционных функций выбрать наиболее адекватную модель АРСС случайного процесса. Построить графики теоретических нормированных корреляционных функций для трёх наилучших из классов АР, СС и АРСС.
4. Построить и изобразить графически параметрическую оценку спектральной плотности для трёх наилучших моделей.
5. Смоделировать случайный процесс АРСС с использованием наилучшей модели. Сравнить графически фрагменты реализаций исходного и смоделированного процессов.
6. Построить оценки моментных функций смоделированного процесса, сравнить их с оценками моментных функций исходного процесса и с теоретическими моментными функциями, соответствующими выбранной модели АРСС.

 

 

1. Моментные функции исходного процесса

Дан случайный процесс η, представленный в виде выборки из N последовательных отсчетов. Оценим моментные функции данного процесса:

1. Находим выборочное среднее по формуле

 

где – элементы выборки при , а - размер выборки

Таким образом,  .

2. Рассчитываем выборочную дисперсию, используя формулу

 

где – элементы выборки, – размер выборки

Откуда .

3. Корреляционную функцию находим по формуле:

 

где - размер выборки;

и нормированную корреляционную функцию, используя формулу:

 

Для будут следующие значения

       1.0000

0.9830

0.9481

0.9123

0.8797

0.8489

0.8168

0.7865

0.7576

0.7286

0.7010

 

Радиус  корреляции случайного процесса вычисляется  по формуле 

 

и равен 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. График оценки корреляционной функции будет выглядеть следующим образом (рис. 1)

 

Рисунок 1 – Нормированная корреляционная функция исходного процесса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Построение моделей АРСС

2.1 Описание метода

Рассмотрим  модели авторегрессии порядка М, скользящего среднего порядка N, а также смешанную модель АРСС порядка (M, N).

 

Таблица 1 - Уравнения связей параметров модели АРСС (M,N) 
с корреляционной функцией

Блок	Кол-во уравнений	Уравнения связей параметров модели АРСС с корреляционной функцией выходной случайной последовательности
А	N+1	×××
Б	M	×××
В		×××
Г	N+1	×××

 

Общая модель АРСС имеет вид:

,

где    - выходная последовательность,

- входная некоррелированная  последовательность (белый шум)

 – параметры модели

 

Исходя из известных значений корреляционной функции исходного процесса рассчитаем его модели АР, СС и АРСС с помощью следующих методов:

1. Для модели АР(M) численными методами решается нелинейная система М+1 неизвестных:

 

 

2. Для модели СС(N) численными методами решается система N+1 неизвестных:

 

3. Для общей модели АРСС(M,N) , будем искать параметры следующим образом:

а) из уравнений блока Б находятся оценки неизвестных параметров

б) из уравнений блока А, с использованием соотношений блока Г, находятся значения

    оставшихся  параметров 

 

Для решения вышеуказанных систем будем использовать математический пакет Scilab.

Текст программы приведен в приложении А.

 

2.2 Примеры расчетов.

Приведем  примеры расчетов для моделей  из классов АР, СС и АРСС.

 

1. Для модели АР(2).

Из  системы  уравнений

 

 

найдем, используя математический пакет Scilab, оценки искомых коэффициентов. Для этого применим функцию fsolve к данной системе. Таким образом, коэффициенты получились равными:

 

 

2. Для модели СС(0):

 

Из уравнения        находим  

 

3. Для модели АРСС(3,2):

 

 

 

 

Подставляем в систему:

 

 

Откуда:

 

Аналогично находим параметры  остальных моделей:

 

Таблица 2 – Построенные модели АРСС

Порядок  модели		Параметры модели
M	N
0	0				8.0670
0	1				-	-
0	2				-	-	-
0	3				-	-	-	-
1	0	0.9830			-1.4825
1	1	-			-	-
1	2	0.9643			0.1290	0.9492	1.1437
1	3	0.9643			-0.1084	0.2001	0.8902	1.1731
2	0	1.5105	-0.5367		1.2509
2	1	1.0851	-0.1186		0.8266	1.1310
2	2	-	-		-	-	-
2	3	1.3062	-0.3290		-0.1510	-0.1192	0.4888	1.1763
3	0	1.6826	-1.0210	0.3206	-1.1849
3	1	1.3639	-0.5396	0.1496	0.4240	1.1760
3	2	1.1557	-0.3137	0.1249	0.1654	0.6657	1.1769
3	3

Здесь прочерками отмечены модели, которые не удалось построить. Серым цветом отмечены модели, которые  оказались неустойчивыми.

3.Теоретические нормированные корреляционные функции моделей

После построения моделей необходимо оценить их статистические параметры, а именно нормированные корреляционные функции. Для каждой модели найдем значения корреляционной функции. Для этого будем использовать следующий метод:

1. Подставляем значения в уравнения системы Г, откуда выражаем N+1 первых значений смешанной корреляционной функции .
2. Подставляем найденные значения, а также коэффициенты и в уравнения блоков А и Б. Решаем систему N+M+1 уравнений блоков А и Б относительно первых N+M+1 значений теоретической корреляционной функции выходного процесса .
3. Последующие значения рассчитываем рекурсивно с помощью уравнений блока В.

Примечание: Первые N+M+1 отсчетов теоретической корреляции совпадают со значениями корреляционной функции исходного процесса, так как коэффициенты и являются решениями той же самой системы, в которую они далее подставляются для нахождения теоретической корреляции.

Для сравнения нормированных  корреляционных функций будем использовать критерий среднего квадратичного отклонения по первым десяти отсчётам: ,

где – выборочная нормированная корреляционная функция исходного процесса, – рассчитанная теоретическая нормированная корреляционная функция для модели АРСС (M,N).

Таблица 3 – Теоретические ошибки моделей АРСС

M	N
	0	1	2	3
0	7.0739791	-	-	-
1	0.0760136	-	0.0001228	0.0000780
2	0.0364531	0.0001943	-	0.0002558
3	0.0048477	0.0003210	0.0001623	-

Здесь зеленым выделена лучшая модель АР, оранжевым – лучшая модель СС, синим – лучшая смешанная  модель АРСС.

 

Результаты расчетов можно представить графически:

Рисунок 2 – Нормированные  корреляционные функции моделей  АРСС

4. Оценка спектральной плотности мощности

Найдем оценку спектральной плотности мощности трех лучших моделей  для каждого класса.

При этом воспользуемся следующей  формулой:

 

где - спектральная плотность мощности

  - параметры  модели

Будем сравнивать эту оценку с оценкой спектральной плотности исходной модели, которая ищется, по формуле:

 

где – оценка спектральная плотность мощности

 – выборочная корреляционная функция

 – некоторое число

Результаты представлены на следующих рисунках:

Рисунок 3 – Нормированная спектральная плотность мощности для модели АРСС(1,3)

Рисунок 4 – Нормированная спектральная плотность мощности для модели СС(0)

Рисунок 5 – Нормированная спектральная плотность мощности для модели АР(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.  Моделирование

Итак, мы определили, что исходный процесс лучше всех остальных моделей приближает модель АРСС(1,3). Смоделируем случайную последовательность. Для этого сгенерируем выборку из 5000 отсчетов с использованием лучшей модели следующим образом:

1. В среде Scilab создадим вектор, координаты которого распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (белый шум), с помощью стандартной функции grand.
2. В результирующий вектор будем записывать значения моделируемого процесса по формуле:

 

 

где   -  -ая координата результирующего вектора выходного процесса

        - параметры модели, найденные в пункте 2

      – -ая координата нормального вектора выходного процесса

3. Так как в полученном векторе находится случайная последовательность с математическим ожиданием, близким к нулю, прибавим к нему значение выборочного среднего, найденного в пункте 1.

 

Примечание: Учитывая, что сгенерированная последовательность приобретает свойство стационарности по прошествии большого промежутка времени, отбрасываем первые 1000 отсчетов, считая их «браком». Таким образом, в выходной последовательности останутся только последние 5000 отсчетов начальной последовательности.