Средняя арифметическая и средняя гармоническая формы общих индексов

20. Средняя арифметическая и средняя гармоническая формы общих индексов.

   Средняя арифметическая

   Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

   Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают  через х ( ); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через . Следовательно, средняя арифметическая простая равна:

   

   По  данным дискретного ряда распределения видно,  что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз.  Так, варианта х встречается в совокупности 2 раза, а варианта х-16 раз и т.д.

   Число одинаковых  значений признака в  рядах распределения называется частотой или весом и обозначается символом n.

   Вычислим  среднюю заработную плату одного рабочего в руб.:

   Фонд  заработной платы по каждой группе рабочих равен произведению варианты на частоту,  а сумма этих произведений дает общий фонд  заработной платы всех рабочих.

   В соответствии с этим, расчеты можно  представить в общем виде:

     

   

   Полученная  формула  называется средней арифметической взвешенной.

   Статистический  материал в результате обработки  может быть  представлен не  только  в виде дискретных рядов распределения,  но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами.

   Исчисление средней по сгруппированным  данным  производится  по  формуле средней арифметической взвешенной:

   В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.

   Основные  свойства средней  арифметической.

   Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

   1. От уменьшения или увеличения  частот каждого значения  признака  х в п раз величина средней  арифметической не изменится.

   Если  все частоты разделить или  умножить на какое-либо число,  то величина  средней не изменится.

   2. Общий множитель индивидуальных  значений  признака  может   быть вынесен за знак средней:

   

   3. Средняя  суммы  (разности)  двух  или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

   

   4. Если х = с, где с - постоянная  величина, то  .

   5. Сумма отклонений значений признака  Х от средней арифметической  х равна нулю: 

     
 
 

   Средняя гармоническая.

   Наряду  со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая  величина,  обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

      Средняя гармоническая  применяется  в тех  случаях,  когда  частоты  (веса)   не  приводятся  непосредственно,  а входят  со  множителями в один  из  имеющихся показателей.

      Пример:  Автомагазин  доставил  товары  на  3  полевых  стана.  Так  до  первого  стана,  расположенного  на  шоссейной  дороге,  автомагазин  прошел  путь  со  скоростью  50  км.  час,  до  второго  по  проселочной  дороге, - 40  км. час,  а  в  третьем  случае  ему  пришлось  преодолеть  пол  пути  преодолеть  через  лесной  массив  и  скорость  движения  составила только  30  км.  час.

      Требуется  определить  среднюю  скорость  движения  автомагазина.  На  первый  взгляд,  предоставляется,  что  средняя  скорость  движения  может  быть  определена  по  формуле  простой  арифметической.

50 + 40 + 30 / 3 = 120 / 3 = 40 км. час.

      Однако  не  трудно  убедиться,  что средняя  исчислена неправильно.  В самом деле,  произведя расчет  средней скорости  по  простой арифметической  средней,  мы  исходим из  того,  что автомагазин во  всех  трех  случаях прошел  одинаковое  расстояние,  соответственно  50, 40 , 30 км.,  т. е.  всего 120  км.  Если  бы  условие этой  задачи  было  сформулировано  в такой форме,  то  средняя была  бы  рассчитана  правильно и характеризовала бы  пройденное автомагазином среднее расстояние.

      В  действительности  же  эта  средняя  рассчитана  неверно,  так  как  из  условия  задачи  не  следует,  что  автомагазин  преодолел  расстояние  120  км.  до  трех  станов. Скорость  движения  была  различная,  следовательно,  он  прошел  и  разное  расстояние. 

      В  подобных  случаях  нужно  применять  формулу  средней  гармонической  простой  (невзвешенной):

,  или  в  сокращенном   виде  =

Где       -  средняя гармоническая  простая;

числа,  обратные  с  заданным  вариантам.

      Иначе  говоря,  простая  гармоническая  средняя  есть  отношение  числа  вариантов  к  сумме  обратных  значений  этих  вариантов. 

      Для  нашего  примера 
 

      Вычисленная  средняя гармоническая  простая  показывает,  что  средняя  скорость  составляет  не  40  км.  в  час ,  а  только  38  км.  в  час.

      В  нашем  примере  средняя  арифметическая         оказалась  больше  средней  гармонической        .  при  этом  абсолютная  ошибка  завышения  составляет  2  км  (38 – 40),  а относительная - 5% ( 2 х 100 / 40).

      Таким  образом,  неправильное  использование  арифметической  средней  привело  бы  к  завышению  средней  скорости  движения  автомагазина  и  к  неправильному  планированию  объема  перевозок.

      Это  еще  раз  доказывает,  с  какой  осторожностью  следует  решать  вопрос  о  том,  какую  среднюю  надлежит  применить  в  экономических  расчетах.

      В  рассмотренном  примере  частоты  (веса)  равнялись  единицы  если  же  частоты  (веса)  различные,  то  применяется  средняя гармоническая взвещенная,  которая вычисляется следующим образом:  
 

      Где     -  средняя  гармоническая  взвешенная,  или 
 

      Как  первая,  так  и  вторая  формула  показывает,  что  средняя  гармоническая  – величина,  обратная  средней  арифметической.

      Веса  арифметической  и  гармонической  средней  обозначены  разными  буквами:  f и m.

      Это  не  случайно,  так  весами  средней  арифметической  служит  частоты  рассматриваемого  ряда,  а  весами  гармонической  средней  будет  произведение  вариантов на  веса  (частоты).

      Пример:  Предположим  что  по  двум  магазинам  коопторга  имеются  следующие  данные  о  реализации  товаров

 

      Из  условия  задачи  видно,  что  количество  реализованного  товара  принимается  за  вес,  который  обозначается  буквой  f.  Товарооборот – произведение  цены  на  количество  товара;  полученный  таким  образом  вес  обозначается  буквой  х f, m = х f.

      Для  определения  средней  цены  товара  можно  применить  в  одном  случае  арифметическую  взвешенную,  в  другом  гармоническую  взвешенную.  Если  при  вычислении  средней  цены  мы  будем  в  качестве  весов  брать  количество  проданного  товара  f,  то  решение нужно производить по  арифметической  взвешенной; 
 

      Если  же  в  качестве  весов  используются  товарооборот  m,  для расчета средней цены  нужно применить среднюю гармоническую: 
 

      В  нашем  примере  в  первом  случае  при  перемножении вариантов  на  веса  (х f)  получается  сумма товарооборота,  т. е.  реальная  экономическая величина.  Поэтому для расчета средней цены  применяются среднюю арифметическую  среднюю.

      Во  втором  случае    перемножение  вариантов  на  веса  (х m),  т. е.  цены  товара  на  товарооборот,  никакого  реального показателя  не  дает,  и получается  бессмыслица.  Поэтому во  втором  случае  веса  делят на  вариант (m / х).  Частное  от  деления  товарооборота  на  цену  показывает  количество  реализованного  товара  и  имеет  реальный  экономический  смысл.  В  этом  случае  применяется  средняя  гармоническая  взвешенная. 

28.  В  таблице   приведены  данные  о  структуре   оборота  розничной  торговли  магазина  в  отчетном  периоде.  Объем  оборота  составил  2569  тыс. руб.  Определить  сумму  оборота  розничной  торговли  по  каждой  товарной  группе.

 
 
 
 
 
 

42.  Определить  среднюю   численность   работников  предприятия   за  I квартал, II квартал  и за  I  полугодие.  Численность работников  предприятия (чел.):

На  1  января – 128,

На  1  февраля – 130;

На  1  марта – 130;

На  1  апреля – 136;

На  1  мая – 138;

На  1  июня – 142;

На  1  июля – 140. 

Решение: 

128 + 130 + 130 = 388 чел. / 3 = 129,3 чел.

136 + 138 + 142 = 416 чел. / 3 = 139 чел.

130 + 130 + 136+ 138+ 142 + 140 = 816 чел. / 6 = 136 чел. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

44.  Оборот  розничной   торговли  магазина  за  отчетный  год   характеризуется   данными,  приведенными  в  таблице.  Используя  метод   укрупнения  интервалов,  определить,  существует  тенденция  развития  оборота.