Смешанное произведение трех векторов

 

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

БАЙКАЛЬСКИЙ ЭКОНОМИКО-ПРАВОВОЙ ИНСТИТУТ

 

 

ЮРИДИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «ЮРИСПРУДЕНЦИЯ»

 

 

 

 

Контрольная работа

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

 

Билет (вариант) № 4

 

  Выполнила: студентка  заочной формы обучения

КУРГАНСКАЯ ИРИНА ГЕННАДЬЕВНА (____________)

Логин _____

Проверил _________________________________________

Оценка____________Подпись________________________

 

 

 

 

 

 

Улан - Удэ

2009

Вопрос. Смешанное произведение векторов и .  

 

 

Содержание.

 

Смешанное произведение векторов и .        ____ст. 2 - 5____

Список используемой литературы                         ____ст. 5_______

 

 

Смешанное произведение векторов и .

 

Рассмотрим произведение векторов и , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выражение имеет геометрический смысл.

Например: построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы и вектор .

Имеем: , где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и для правой тройки векторов и для левой, где Н – высота параллелепипеда. Получаем: т.е. , где V – объем параллелепипеда, образованного векторами и .

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Смешанное произведение имеет свойства:

1. Смешанное произведение  не меняется при циклической  перестановке его сомножителей, т.е. .

В этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

2. Смешанное произведение не  меняется при перемене местами  знаков векторного и скалярного умножения, т.е.

 и  . Знак правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов и —                                  одной ориентации.

Следовательно, . Это позволяет записывать смешанное произведение векторов в виде без знаков векторного скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет  свой знак при перемене мест  любых двух векторов-сомножителей, т.е. .

Такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4. Смешанное  произведение трёх векторов равно нулю, если:

а) хоть один из перемноженных  векторов равен нулю;

б) два из перемноженных векторов коллинеарны;

в) три ненулевых вектора параллельны  одной и той же плоскости (компланарность).

Например: , от – компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было построить параллелепипед с объемом . Но так как , то получили бы, что . Это противоречит условию: .

Обратно, пусть векторы - компланарны. Тогда вектор будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы ,

следовательно, . Поэтому , т.е. .

Смешанное произведение выражается через координаты.

Например:

заданы векторы . Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

                      

=          

                   

                           

=                         

                                  

=                     .

Полученную формулу  можно записать короче:

                                     

                                ,

                                      

так как правая часть  равенства представляет собой разложение оприделителя третьего порядка по элементам  третьей строки.

Можно сделать вывод  что, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых  векторов.

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Определение взаимной ориентации векторов и основано на следующих соображениях. Если - правая тройка; если - левая тройка.

Установление компланарности векторов.

Векторы и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю

                  

      = векторы компланарны.

                    

Определение объемов  параллелепипеда и треугольной  пирамиды.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах и вычисляется как , а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен .

                 

 

Список используемой литературы:

 

Д. Письменный «Конспект  лекций по высшей математике», в 2-ух частях, часть 1. Москва, «Айрис Пресс», 2002 г.

П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников «Высшая математика в упражнениях и задачах», в 2-ух частях, часть 1. Москва, «Высшая школа», 1986 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача. Образуют ли векторы , базис на плоскости?

 

Решение:

Если взятые в определенном порядке векторы и неколлинеарны, то они образуют базис на плоскости.

Проверим коллинеарность векторов и .         

 

1) т.е.

2) , т.е.

Вывод:

Условие коллинеарности не выполняется, значит, векторы и неколлинеарны, т.е. образуют базис на плоскости.