Сложение и вычитание, деление и умножение обыкновенных дробей

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КОСТАНАЙСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ 
 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат

На  тему: «Сложение и вычитание, деление и умножение обыкновенных дробей».  
 
 
 
 
 
 
 
 

Костанай

2011 год 

СОДЕРЖАНИЕ

1. Из истории обыкновенных дробей       ………………………………………..3
2. Действия с обыкновенными дробями         ..............…………………………..5

2.1. Сложение  и вычитание обыкновенных дробей   ……………………........5

2.2. Умножение  и деление обыкновенных дробей    ………………………….7

3.  Примеры на сложение, вычитание, умножение и деление дробей      ……. 10

4. Список  литературы   …………………………………………………………...11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  1. Из истории возникновения обыкновенных дробей.

  Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.

  Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа –2/3- у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица – все остальные дроби непременно имели в числителе единицу (так называемые основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28; … . Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача :

  «Разделить 7 хлебов между 8 людьми». Если резать каждый хлеб на 8 частей, придётся провести 49 разрезов.

  А по-египетски эта задача решалась так: Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8. Значит каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезали пополам, два хлеба- на 4 части и один хлеб на 8 долей, после чего каждому дали его часть.

  Но  складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому, папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде суммы долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21: 5/21

  Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением.

  В древнем Вавилоне предпочитали наоборот, - постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям.

  Интересная  система дробей была в Древнем  Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

  Даже  сейчас иногда говорят:”Он скрупулёзно  изучил этот вопрос.” Это значит, что вопрос изучендо конца, что не одной самой малой неясности  не осталось. А происходит странное слово “скрупулёзно” от римского названия 1/288 асса - “скрупулус”. В ходу были и такие названия: ”семис”- половина асса, “секстанс”- шестая его доля, “семиунция”- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

  Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

Обыкновенная  дробь – это число вида , где m и n – натуральные числа, например . Число m называется числителем дроби, n – знаменателем. Среди обыкновенных дробей различают правильные и неправильные дроби. Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

  2. Действия с обыкновенными дробями.

  2.1. Сложение и вычитание обыкновенных дробей.

Сложение обыкновенных дробей выполняется так:

а) если знаменатели  дробей одинаковы, то к числителю  первой дроби прибавляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель, т.е. ;

б) если знаменатели  дробей различны, то дроби сначала  приводят к общему знаменателю, предпочтительнее к наименьшему, а затем к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби, т.е. .

Вычитание обыкновенных дробей выполняют следующим образом:

а) если знаменатели  дробей одинаковы, то от числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель, т.е. 

.

б) если знаменатели  различны, то сначала дроби  приводят к общему знаменателю, а затем от числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, т.е. .

  Сложение  и вычитание дробей. Если знаменатели  дробей одинаковы, то для того, чтобы  сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же.

    Например:

  1.

  2.

  3.

  4.

  5.

  6.

  Если  знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.

  Например:

  1.

  2.

  3.

  4.

  5.

  6.

  7.

  8.  
 
 
 
 
 
 
 
 

  2.2. Умножение и деление обыкновенных дробей.

Умножение обыкновенных дробей выполняется следующим образом:

,

т.е. перемножаются  отдельно числители, отдельно знаменатели, первое произведение делают числителем, второе – знаменателем.

При умножении  дроби на натуральное число, числитель дроби умножают на это число, а знаменатель оставляют без изменения.

Если  множители являются смешанными числами, то сначала их нужно  записать в виде неправильных дробей, затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Деление обыкновенных дробей выполняют следующим образом:

,

т.е. делимое  умножают на дробь , обратную делителю .

  Умножение обыкновенной дроби  на целое число.

   Чтобы умножить дробь на целое число, достаточно числитель дроби умножить на это число, оставив прежний знаменатель.

   Например:

   1.

   2.

   3.

   4.

  Умножение смешанного числа  на целое число.

  При умножении смешанного числа на целое в большинстве случаев проще отдельно умножить целое и дробь на целое число.

  Например:

  1.

  2.

  3.

  Умножение дробь на дробь

  Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

  

  Например:

  1.

  2.

  3.

  4. .

  5.

  Деление обыкновенных дробей на целое число.

  При делении дроби на целое число  достаточно числитель разделить на целое число, оставив прежний знаменатель.

  Например:

  1.

  2.

  Как поступать в том случае, когда  числитель данной дроби не делится  на целое число. Тогда существует следующее правило

   Чтобы разделить дробь на целое число, достаточно знаменатель дроби умножить на это число, оставив числитель прежним.

   Например:

   1.

   2.

   Деление дроби на дробь.

  Чтобы разделить дробь на дробь, нужно  первую дробь переписать, а вторую дробь перевернуть (это важно!) и  их перемножить, т.е. знаменатель на знаменатель, числитель на числитель.:

  

   Например:

   1.

   2.

   3.

   4.

5. . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  3. Примеры на сложение, вычитание, умножение  и деление обыкновенных  дробей.

  Реши  самостоятельно: 

1.

2.

3.

4. 

5.

6.

7.

8.

9.

10.   

11.

12.

13.

14.

15.