Системы двух нелинейных уравнений первого порядка в частных производных

ПРИМЕР 3.4. Дана система

 

Данная система описывает  нелинейные одномерные продольные колебания  упругого стержня, где  – градиент деформации, – скорость деформации, – напряжение. Условие выражает гиперболичность этой системы, штрих обозначает производную по .

1. Пусть   -  решение рассматриваемой системы уравнений. Тогда пара функций

 

где – произвольные постоянные, также будет решением данной системы.

2. Тривиальные решения:

 

где – произвольные постоянные.

3. Автомодельные решения, зависящие от отношения независимых переменных :

 

 

где – произвольные постоянные.

4. Точны решения в неявном виде:

 

 

где  – произвольные функции, – произвольные постоянные Эти решения описывают простые волны Римана и характеризуются функциональной зависимостью искомых величин   . В частных случаях эти формулы переходят в автомодельные решения под цифрой (3).

5. Рассматриваемая система может быть линеаризована с помощью преобразования годографа

 

где и приняты за независимые переменные, а и – за зависимые переменные.

6. Исключая из рассматриваемой системы , приходим к уравнению вида

 

ПРИМЕР 3.5. Дана система

 

Система описывает одномерные течения идеального политропного газа, где  – скорость газа, – его плотность.

§3. Другие нелинейные системы двух уравнений первого порядка

ПРИМЕР 3.6 Дана система

 

Эта система описывает  глубокую фильтрацию однокомпонентной суспензии частиц в пористой среде  с учетом изменения ее проницаемости (обусловленной захватом частиц пористой средой). Первое уравнение системы  представляет собой баланс массы  для накапливаемых частиц и суспензии, а второе уравнение описывает  кинетику накопления; – концентрация суспензии,  – концентрация накапливаемого вещества (осадка),  -  коэффициент фильтрации.

 

§4. Пояснения к главе 2

1. Химический реактор— агрегат для проведения химических реакций объёмом от нескольких миллилитров до десятков кубометров. В зависимости от условий протекания реакций и технологических требований реакторы делятся: реакторы для реакций в гомогенных системах и в гетерогенных системах; реакторы низкого, среднего и высокого давления; реакторы низкотемпературные и высокотемпературные; реакторы периодического, полунепрерывного и непрерывного действия.
2. Суспензия – или взвесь (лат. suspensio, буквально — подвешивание, от лат. suspendo — подвешиваю) — смесь веществ, где твёрдое вещество распределено в виде мельчайших частичек в жидком веществе во взвешенном неосевшем состоянии.
3. Теория фильтрации – раздел гидродинамики, посвященный исследованию движения жидкостей через пористые среды, то есть тела, пронизанные системой сообщающихся между собой пустот (пор). Пористыми являются многие природные тела: грунты, горные породы, древесина, кожа, кость, мягкие ткани животных, а также искусственные материалы: строительные (бетон, кирпич), пищевые (хлеб), искусственная кожа, керамика, металлические детали, полученные методом порошковой металлургии, и т.д.
4. Хроматография – динамический сорбционный метод разделения и анализа смесей веществ, а также изучения физико-химических свойств веществ. Основан на распределении веществ между двумя фазами — неподвижной (твердая фаза или жидкость, связанная на инертном носителе) и подвижной (газовая или жидкая фаза, элюент).

 

Глава 3. Геометрическая интерпретация уравнения первого порядка с двумя независимыми переменными.

§1. Случай линейного однородного уравнения

Простейший тип дифференциального  уравнения в частных производных  первого порядка – линейное однородное дифференциальное уравнение для  одной неизвестной функции  двух независимых переменных:

(1.1)

или

          (1.2)

Здесь для сокращения положено

 

Дифференциальное уравнение  всегда будет рассматриваться в  некоторой области ,  в которой коэффициенты и определены и непрерывны.

(От вида этой области  может существенно зависеть решение рассматриваемого дифференциального уравнения. К указанным здесь предположениям часто присоединяют еще другие, дополнительные. Для разрешимости дифференциального уравнения (1.1) одного указанного в тексте предположения о коэффициентах, вообще говоря, не достаточно)

Пятерку чисел мы будем называть плоскостным элементом (элементом прикосновения), связывая с этими числами плоскость

 

в трехмерном пространстве переменных . Точка , через которую проходит эта плоскость, называется точкой-носителем, числа называются направляющими коэффициентами плоскостного элемента. Плоскостные элементы с общей точкой-носителем () образуют, очевидно, семейство плоскостей, проходящих через одну точку () (разумеется, исключая плоскость, перпендикулярную к координатной плоскости XOY). Если – непрерывно дифференцируемая поверхность, то плоскостной элемент определяет (для допустимых значений и ) касательную плоскость к этой поверхности (см. рисунок).

(Напомним, что если поверхность  задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в некоторой точке имеет вид ,  т. е. вектор ) является нормалью к данной поверхности в рассматриваемой точке)

В силу дифференциального  уравнения (1.1) или (1.2) с каждой точкой можно связать плоскостные элементы , направляющие коэффициенты которых удовлетворяют уравнению

 

Предполагая что  (т. е. рассматривается регулярная точка) получаем пучок плоскостей (кроме плоскости, ортогональной к плоскости XOY), которые проходят через горизонтальную прямую

 

. Таким образом, в силу  дифференциального уравнения (1.1), каждой точке отвечает пучок  плоскостей.

(Эти пучки и их оси называются  соответственно пучками Монжа  и осями Монжа; точка пространства  вместе с направлением оси  Монжа, проходящей через эту  точку, называется характеристическим  линейным элементом)

Интеграл уравнения (1.1) с  геометрической точки зрения есть любая  непрерывно дифференцируемая поверхность  , которая в каждой своей точке имеет одну из плоскостей соответствующего пучка своей касательной плоскостью.

§2. Случай квазилинейных уравнений   

Квазилинейное   дифференциальное уравнение в частных производных  первого порядка для одной  неизвестной функции       независимых переменных имеет вид

       (1.3)

или, используя обозначения   и вместо вектора с компонентами ,

 (1.4)

Очевидно, оно линейно  относительно производных искомой  функции, в то время как сама эта  функция может входить нелинейным образом.

Дифференциальное уравнение (1.3) будет всегда рассматриваться  лишь в такой области   – мерного , – пространства, в которой коэффициенты   и непрерывны.

Достаточно наглядная  геометрическая интерпретация возможна лишь для  . Если в этом случае записать дифференциальное уравнение типа (1.3) в виде

 

то каждой точке  пространства будет, в силу этого уравнения, соответствовать плоскостной элемент , направляющие коэффициенты которого удовлетворяют уравнению

 

Это уравнение определяет множество плоскостей, проходящих через  прямую

 

, за исключением плоскости,  ортогональной к плоскости . В силу дифференциального уравнения, таким образом, каждой точке будет соответствовать пучок плоскостей, но общая прямая этих плоскостей теперь уже, вообще говоря, не параллельна плоскости .

 

Заключение

В ходе курсовой работы мной были рассмотрены системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных  производных первого порядка, а  также алгоритм их решений. Были разобраны  примеры решений, охватывающие разные случаи: когда необходимое условие  совместности выполняется тождественно, когда корни системы находятся  непосредственно из условия совместности системы и третий случай – когда  система не имеет решений. Так  же было приведено практическое применение систем уравнений в задачах математической физики, в моделировании процессов  фильтрации, массопереноса, биологических  процессов, химических реакторов и  др. Так же полностью раскрыт геометрический смысл линейных и квазилинейных  уравнений первого порядка в  частных производных.  

Список литературы

1. Степанов В. В. – Курс дифференциальных уравнений
2. Камке Э. – Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка
3. Егоров Ю.В. – Лекции по уравнениям с частными производными
4. Трикоми Ф. –Лекции по уравнениям в частных производных
5. Вязьмина Е.А., Бедриковецкий П. Г., Полянин А. Д. - Новые классы точных решений нелинейных систем уравнений теории фильтрации и конвективного массопереноса
6. Полянин А. Д. Зайцев В.Ф. – Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, 2^nd Edition