Шпаргалка по "Высшей математике"

Числ.Прям.-множество R всех действительных чисел. а лежит левее b(а<b)

Отрезок [a;b]-множ.чисел,удовлетв.

Двойному неравенству  a≤x≤b(a<b)

Если а<b, то множ.действ. числ. (a;b)={x|a<x<b} наз. Интервалом( или открытым промежутком).

(полуинтервал или  полуоткр.промеж. :  [a;b) , (a;b] )

(бесконечный промеж.:(-∞;+∞)

Переменная величина-велич.приним. различные численные знач(темп.возд…)

Постоянная вел.-Вел.приним. одно и тоже знач.(π)

Числовая фу-я  –соответствие,при котором каждому знач. Х соотв знач. У из обл.опр.фу-и

Осн.способы задания: аналитический(с помощью одной или нескольких фо-л) графический и табличный

Фу-я f  чётн.,если для люб. х из её обл.опр. f(-x)=f(x)График симмет.относ. оси ОУ

Фу-я  f неч. если … f(-x)=-f(x)/ граф.симметр.относ. ОХ

Сложной фу-й f от g наз.фу-ю у=f(g(x))(определена при всех х при кот.опред.фу-я g и при кот.знач.g(х)принадлж.обл.опр. фу-и f)

Ф-я f периодическая  с периодом Т≠0 если для люб.х из обл.опр.значения этой фу-и в точках х-Т,х+Т : f(x)=f(x-T)=f(x+T)

Осн.элементарные фу-и:

1постоянная у=С,С=const

2степенная у=, а€К

3показательная у=,а>0,a≠1

4логарифмическая  у=x, a>0,a

5тригонометрические  и обратные к ним y= y= и т.д. y=arc y=acr …

Числ.послед.как фу-я натур.аргумента-каждому натур.числу n соотв.натур.число ,то можество занумерованный чисел ,…… при этом -общий член последовательности.

Число а наз.пределом последовательности при n смемящ.к∞(n→∞),если для сколь угодно малого полож.числаξ>0 сущ.его номер N=N(ξ)такое, что для всех номеров n>N выполняется неравенство |-a|<ξ пишут =a (a и есть предел)

Послед. бмп если =0,т.е. для люб.малого числа ξ>0 сущ.его номер N=N(ξ),n>N следов. ||<ξ напр.

Числ.посл. ббп если для люб.сколь угодно большого числа A сущ.такой номер N,что для всех номеров n>N вып.неравенство ()>A пишут

=∞

Зависимость между  бмп и ббп:

Если -бмп то –ббп

-ббп то –бмп

=∞    =0

Пусть даны 2 действительных числа a и b, причем а<b,тогда множ.чисел удов.двройному неравенству а≤x≤b называется отрезком. Систему отрезков [,],[,]….назовем систему вложенных отрезков,если ≤≤…

Справедливо утверждение: всякая сист.вложеных отр., длина кот.стрем.к нулю имеет ед.число принад.всем этим отр. Если a<b,то мн.действ.чисел,то мн.этих чисел назыв.интервалом. сн.действ.чисел [a,b}назыв.полуинтервалами. мн. действ.чиселназыв.бесконечным промежутком.Всякий интервал {x-E;x+E},где Е>0-назыв.Е-окрестностью точки х на числовой прямой. Мн.Х действ.чисел х назыв.ограничен.сверху(снизу), если сущ. такое число b(A),что x≤b (x≥a) для всех х прин.Х. Мн.Х действ.чисел х ограниченное сверху и снизу назыв.огранич., если сущ.числа а и b такие,что а≤x≤b, для всех х прин.Х. Число М-назыв. Верхней(нижней) грань числов.мн. Х, если:1. х≤М(х≥m);2.для любого Е>0,сущ.такое число Хе-принадлежащей Х, что Хе>М-Е. 3.Верхнее(нижнее) грани мн.Х обозначаются supx(infx). Под величинами будем понимать все то, что может быть измерено и выражено числом или числами. Переменной велич.назовем величину приним.различные численные значения. Величину приним.одно и то же числвое значение назыв.постоянной. Переменные вел.обычно обозначают строчными, а постоянные первыми буквами. Всякий процесс кол.стороны хар-ся взаимозаменяемостью нескольких переменных величин, что приводит к понятию функцион.зависимости. Функция-соответсвие между 2 мн.,при кот.каждому элементу1-го мн.по определенному закону или правилу соотв.не более 2элемента 2-го мн. Число Х-аргумент, У-знач. функции. Совокупность всех знач., кот.функция принимает на мн. D(F)-назыв.мн.значения функции Е(F). к осн.свойствам зад.функции относят:аналитический, графический, табличный,аналитический. 

обратной, если обратное ей соответствие – функция. Эл.функциями наз.все функции, кот.можно получить из основн.эл.функций с помощью конечного числа алгебраических действий и образов.сложных функций

Осн.элементарные фу-и:

1постоянная у=С,С=const

2степенная у=, а€К

3показательная у=,а>0,a≠1

4логарифмическая  у=x, a>0,a

5тригонометрические  и обратные к ним y= y= и т.д. y=arc y=acr

Числовая последов. (x_n) назыв.  ББ  если для любого сколь угодно большого числа А>0 сущ.такой номер N, что для всех n>N выполняется нер-во|Xn|>A, в этом случае пишут

Между БМП  и ББП сущ. простая связь, кот. выражает сл теорема: если (x_n) – б.м.п., - б.б.п.; если (x_n) – б.б.п., то – б.м.п. В этой связи в теории пределов объяснимы рав-ва 1/0=∞, 1/∞=0.

Гео.предел А функции у=f(x) при Х стремящейся к Хо означает, что какую бы горизонтальную ξ полосу мы не взяли симметричную вдоль прамой у=А, всегда найдется дельта полоса симметричная прямой Х=Хо, такая что все точки графика функции расположенные в вертикальной полосе, кроме быть может точки наход.на прямой Х=Хо обязательно попадет в горизонтальную полосу. При изучении ф-ций иногда оказывается полезным рассмотреть пределы на мн-вах являющихся частями множеств определенияф-ций и лежащими по одну сторону от точки в кот. рассм. предел. Такие пределы назыв. односторонними. Это понятие содержательно лишь тогда, когда x₀ÎR.  

А) если L≠0 , то говорят, что фун-и f g одного порядка при x→;

 Б)  если L=0 , то f(х) и g(х) наз-ся эквивалентными при x→ f(x)≈g(x), x→

В) если L=0, то фун-я f(x) наз-ся фун-й более высокого порядка малости по сравнению с фун-й g(x) при x→. Заметим, что если =∞ то  =0 , фун-я g(x)более выс-го порядка малости, чем f(x). Если в определениях а)-в) фун-и f и g- бесконечно-малые, то речь  идти о сравнении бесконечно-малых фун-й.

1.если ф-я f(х) имеет в т.x_{0 ,то он единственный}

_{2.если  ф-я f(х)імеет в т. x0 предел,то сущ. окресность в т. х0,в кот. Ф-я f(х) ограничена} 

_{3.если  у=С-пост. Ф-я,то}  

_{4.если , ,то}

_{а) lim(f±g)=A+B;}

_{б)(f*g)=A*B;}

_{в)f/g=A/B, B≠0}

_{5.если  в окрестности  в т. х0 выполняются нер-ва f1(x)≤f(x)≤f2(x) и} , то и

_{6.сохранение  знака предела.  Если ,то сущ. Окрестность в т.x0 такая, что f(х)>0 (f(x) <0)при всех х из этой окресности.}

ел функции                               …

I замеч.предел: .докажем

Из рис.5:AB=sinx,BD=x,CD=tgx.

Для достаточ.малых пределов:sinx<x<tgx

,

тогда

,

учитывая 

II Замечательный предел

==

=е

=, =

Пусть f(x) опред. в некот. окрестности т.Xo. Точку Xo наз.точкой разрыва ф-ции f(x).

Классификация точек разрыва:

Если Xo точка разрыва ф-ции и сущ. конечные пределы,то т.Xo явл. точкой

разрыва первого рода.

Величина  f (Xo+0) -  f (Xo-0)  называется

скочком ф-ции в т.Xo. Если скачок равен 0 в т. разрыва.то Xo наз.точкой устронимого разрыва.Точка не явл. Точкой 1 рода.наз. точкой II рода.Здесь под пределом понимается конечный предел:       Свойства непрерывных функций:

1)если f(x)непрер. на отр.(a;b)то она ограничена на отрезке и прин. найб. и наймен. значение.

2) если f(x) опред. и непрерывна на отрезке,то хотя бы одна т. С леж. м/у точ. А и В такая,что f(c)=0 .

3)Если f(x) непрер. и прин. найб. и найм знач.,то для люб. С найдётся точка С такая чтоf(c)=C 

.Геометрич.  смысл производных

Определение 1:пусть ф-ция опред. в некот. окрестности 

. пусть х  –произвольная точка.

если сущ. предел: то его наз.производной ф-ции в т. Xo и обознач.

f()= 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1:пусть ф-ция опред. в некот. окрестности . пусть х –произвольная точка.

если сущ. предел: то его наз.производной ф-ции в т. Xo и обознач

f’()= 

Под существован.  предела понимают то.что предел равен веществ. числу.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: пусть ф-ция опред. в некот правосторонней  (лево)окрестности т. Xo, если сущ. предел  

то он наз. правой произв. ф-ции f в т. Xo  и обозн.f ‘+(Xo)  или f ‘-(Xo)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ3: где В R >Xo или равно + назыв. правосторонней(лево) окрестнотью т. Xo.

Геометрич. смысл производной:

пусть ф-ция  непрерывна в т. Xo/проведём в т. Мо(Xo;f(Xo) касательную к графику y=f(x),тогда произв.ф-ции Равна   углов. коэф.касательной провед. к т. Мо.

y-f(Xo)=f’(Xo)(x-Xo). Прямая к графику ф-ции в т.Мо наз. НОРМАЛЬЮ кривой.Угловой коэф. нормали равен

уравнение имеет вид:  

Ф-ция имеющ. производ. в кажд. точке числового  промежутка наз. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ на этом промежутке

Основн. правила:

1)(U+V-W)’=U’+V’-W”

2)(UV)’=U’V+UV’

3) ;4)(U(V))’=Uv(V)*Vx

               ТАБЛИЦА

1)C’=0 

;2)

3) ;

4)

5) ;

6)

7)(sinx)’=cosx     

8)(cos x)’=-sinx 

9)  

10)(ctgx)’=

11)(arcsinx)’= ; (arctgx)’=

Если не х а  какое-то выражение,то нужновместо выраж. U  и домножить на производную U

пусть ф.y=f(x) дифференн. в т. Xo Приращение предст.   

Дифференциал-главная  линейная относитель. ,часть приращ. ф-ции в этой точке.dy=A ЕслиА=0,то dy=0.Т.к.А=f’(Xo) то dy=f’(Xo)* ,dy=y’ .полагая y=x:dx=x’ =1* =

Т.е.dx= .Значит dy=f’(Xo)dx, dy=y’dx.Следует:y’=dy/dx;y’=f’(Xo)Отношение диф.ф-ции dy к диф. аргумента dx

ПРОИЗВОДНЫЕ и ДИФ. высших произв. от I порядка y’=f’(x) наз. произв. II поряд:y’’=(y’)’=(f’(x))’=f’’(x)

Пусть ф. y=f(x) диференц. в т.Xo dy=y’dx

Это диффер. I порядка.Диффер. II порядка-дифер. от I порядка и обозн. т.е. Для высших порядков:

ТЕОРЕМА ФЕРМА:Геометр. смысл состоит в том, что если при x=Xo, f приним. найб. знач. на некот. окрестн. т. Xo то касательная к граф. ф-ции параллель. оси OX.Если в т. Xo сущ. конеч. произв., то равна 0.

ТЕОРЕМА РОЛЛЯ:геометр. смысл состоит в том, что у граф. непрер. на отр. и дифференц. внутри его ф-ции, приним. на его концах одинак. знач., сущ. хотя бы одна точ.,в кот касат. парал. оси OX.Сущ.хотя бы одна точка такая что f’( )=0

ТЕОРЕМА ЛАНГРАНЖА:Если ф-ция непрер. на отр. (a;b). То найдётся точка ξ такая что f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a).

ТЕОРЕМА КОШИ:Пусть ф-ции f(x) и g(x) – непрерыв,дифференц. на интерв.(a:b)Тогда найд. точка =. .

Все теоремы наз теорем. о сред. знач.На каждом отр. сущ. Хотя бы одна точ. для кот. теоремы выполняются.

При исслед. ф-ции появл. необх. нахожд. предела, числитель и знамен. стремятся к 0.

ТЕОРЕМА:пусть ф-ции f(x)  и g(x)  диферен. в окрест. т. Xo.Пусть

и g(x)=0 и g’(x)=0. Тогда если сущ. предел: то сущ. причём

  = .теор. справедл при x= при f(x)= g(x)=0..

Прямую х=а наз. вертикальной ассимп. ф. f(x), если хотябы один из одностор. пределов равен ,т.е.

ПРЯМУЮ Y=kx+b наз. наклонной ассимпт.,если .Если к=0.то прямая горизонтальная асимптота.

ИССЛЕДОВАНИЕ  Ф-ЦИИ:

1)найти  область определ.

2)Найти  промежутки монотонности, точ.extr/

3)опред.выпуклость ф-ции,точки перегиба

4)найти  асимптоты

5)опр.  точ. пересечения  с осями 

6)построить  график

Если функция  непрерывна на отрезке, то она принимает  на этом отрезке свои наиб.и наим.знач., кот.называют иногда абсолютным максимум и минимум.

Найб. и найм. значение может принимать на концах отрезка(a:b)Чтобы найти нужно:

1)находят  Крит. точки ф. f(x) принадл. интерв.(a:b) 

2)находят  знач. в этих точках и среди  них выбирают найб. и найм. зачение

При изучении нескольких процессов и закономерностей  приходится иметь дело с ф-ями 2-х  и более независимых переменных. Например, V_конуса=1/3ПR²Н, т.е. явл. ф-ей 2-х переменных R-радиуса основания, Н-высоты конуса; издержки пр-ва (U) на изготовление единицы продукции явл. ф-ей переменных: х –затраты на сырьё, у – расходы на оплату раб. силы, z- амортизация расходов..

Пусть D – некот. мн-во n-мерного Евклидового пространства Еⁿ, т.е.

D={x₁,x₂,…,x_n| x_iэR, i=1,n}, говорят , что на мн-ве D задана ф-ия U=f(x₁,x₂,…,x_n) (U=f(M) где M(x₁,x₂,…x_n)), если в каждой точке МэDcEⁿ поставлена в соответствии ед. число f(M) называемое знач. ф-ии f в тоске M.  Мн-во D назыв. областью опред. ф-ии.

                           Предел в непрерывности.

Пусть Е>0 сколь угодно малое число, тогда мн-во точек М (х₁,…х₂) , корд. кот. удовлетв. нер-ву:

             √ (х₁-х₂)²+…+(x_n-x_n⁰)²<E назыв. Е-окрестные точки М⁰(х₁⁰,…,х_n⁰), т.е. для всех точек М из Е-окрестной точки М⁰ расстояние ρ(М, М₀)<0

Рассмотрим  последовательность точек пространства Rⁿ: М₁(х₁¹,…,х_n¹),…,M_n(x₁^m,…x_n^m) (1)

Говорят, что  эта последов. точек сходится в точке  М₀(х₁⁰,…,х_n⁰), если

ρ(М_m, М₀)→0, m→∞,т.е lim ρ(М, М₀)=0. Точка М₀ наз. пределом последов. М₁: lim M_m=M₀, lim M_m=M₀

Определение 1: Число А наз. пределом ф-ии U=f(M в точке М₀, если для любой послед. точек (1), сходящихся к т.М₀ соответствующ. последов. знач. ф-ии имеет пределом число А и пишут: lim f(M) =A

Ф-ия U=f(M наз. непрерывной на некот. мн-ве D, если она непрерывна в каждой точке этого мн-ва.

Пусть в  области DcRⁿ задана ф-ия z=f(x₁,…x_n) и т.М (х₁,…х_n)эD. В случае, когда изменения ф-ии z происходит при измен. всех её аргументов  x₁,…x_n , говорят о полном преращении Δz ф-ии, а при измен. только одного из аргументов – о частном приращ. по этой переменной.

Рассмотрим  ф-ию 2-х переменных: z=f(x,y). Полное приращ. в т.М₀(х₀,у₀) опред. формулой Δz=f(x₀+Δx;y₀+Δy)-f(х₀,у₀), а частные приращ. (по х и у соответственно) в этой точке формулами:

     Δ_хz= f(x₀+Δx; y)-f(х₀,у₀)     Δ_yz= f(x ; y₀+Δy)-f(х₀,у₀)

Заметим, что  полное преращ. Δz не равно сумме частных её приращ.

 Определение  2: Частной произв. ф-ии z=f(x,y) по независимой переменой х (перемен. у) назыв. конечный предел 

Lim f(x₀ + Δx ; y) – f(x₀ ; y₀) / Δx    lim f(x ; y₀+Δy) - f(x₀ ; y₀) / Δy Δx→0  Δy→0 вычисленный при постоянном у (постоянном х).

Частные произв. по х и у соответственно обозначают ся: ∂z / ∂x, ∂z / ∂y или  fx, fy/

Заметим, что  при вычисл. частных произв. пользуются известными правилами и формулами  дифференцир. ф-ии одной переменной, считая др. перемен. постоянной.

Частные произв. ∂z / ∂x, ∂z / ∂y  – ф-ии аргументов х и у могут в свою очередь иметь произв. по х и у. Это будут частные произв. 2-го порядка:

∂ / ∂x * (∂z / ∂x) = ∂²z / ∂x² = z’’_xx ;  ∂ / ∂y * (∂z / ∂y) = ∂²z / ∂y² = z’’_yy  ;

 ∂ / ∂y * (∂z / ∂x) = ∂²z / ∂x∂y = z’’_xy ∂ / ∂x * (∂z / ∂y) = ∂²z / ∂x∂y = z’’_xy

Запись ∂²z читается «дэ два z», ∂х² – «дэ х квадрат»

Вторые частные  произв., взятые по различным перемен., наз. смешанными частными произв. Аналогично опред. и обознач. частные произв. третьего и выше порядка.

Теорема 1: если ф-ия  z=f(x,y) и её смешанные частные произв. F’’_xy(x₀;y₀)  и f’’_yx(x₀;y₀) опред. в некот. окрестности т. М₀(х₀;у₀), причём смешанные произв. непрерывны в этой точке, то: f’’_xy(x₀;y₀)  = f’’_yx(x₀;y₀)Т.о., если смешан. произв. непрерывны, то они равны, т.е. рез-т дифференц. не зависит от порядка дмфференц.

21продолж.

Определение 3: ф-ия z=f(x,y) наз. дифференц. в т. М₀(х₀;у₀), если полное приращ. в этой точке можно представить в виде:

         Δz = AΔx + BΔy + α (Δx; Δy) Δx + δ(Δx; Δy) Δy   (2) ,

где α и  δ – бесконечно малые при  Δх→0 и Δу→0 и постоянные А²+В²≠0

Теорема 2: если ф-ия z=f(М) дифференц. в т.М₀, то она непрерывна в ней.

Теорема 3 (реобходимые  условия дифференциации): если ф-ия z=f(М) в т. М₀(х₀;у₀),  то она имеет в этой точке частные произв. f’x(M₀), f’y(M₀) причём  f’x(M₀)=А f’y(M₀)=В

Теорема 4(достаточное  условие дифференциации): если ф-ия  z=f(М) имеет частные произв. в некот. окрестности т. М₀(х₀;у₀) непрерывны в самой точке М₀, то она дифференц. в этой точке.

Теорема 4 имеет  важное знач. для установления дифференц. ф-ии, т.к. этот процесс вызывает большие затруднения при использов. определ. в то время как проверка непрерывности частных промзв. оказывается проще.

Понятие дифференц. для ф-ии 3-х и более переменных вводится аналогично. Ф-ия нескольких переменных, дифференц. в каждой точке  некот. мн-ва наз. дифференцируемой на этом мн-ве.

Определение 4: полным дифференциалом dz дифференц. в т.М₀(х₀;у₀) ф-ии z=f(x,y) наз. главная линейная относит. приращений Δх и Δу часть полного приращ. (2)

 Этой  ф-ии в т.М₀, т.е.

           dz = f’x (x;y)Δx + f’y (x;y)Δy  (3)  или

           dz = f’x (x;y)dx + f’y (x;y)dy  (3*) ,

считая, что  dy=Δy, dx=Δx

22продолж 

Определение5:пусть ф. u=f(x_1…x_n) определена в обл. D, содержащейся в Rⁿ и M₀(x₁⁰…x_n⁰) точка этой обл. Говорят, что ф. u=f(M) имеет в т. M₀ max (min), если в нек. окрестности этой т. Выполняется неравенство:  f(M₀)> f(M) и f(M₀)< f(M), max и min ф. наз. Ее экстремумом, а т.M₀ в кот. Достигается экстр. – точка экстремума. Теорема5(необходимое условие сущ. Экстр.):если ф. u=f(M) в т. M₀ имеет экстр., то в этой т. либо ее частные производные 1го порядка равны 0, либо хотя бы одна из них не сущ. Точки, в кот. частные производные 1го порядка обращены в 0 или хотя бы одна из них не сущ. наз. Критическими точками. Достаточное усл. экстр. рассматр. для 2х независ. переменных. Теорема6(достаточное усл. экстр.):пусть в критической т. M₀(x₀;y₀) и в нек. ее окрестности ф. f(x,y) имеет непрерывные частные производные, то 2го порядка включительно. Обозначим δ²f(x₀;y₀)/δx²=A; δ²f(x₀;y₀)/ δxδy=В; ; δ²f(x₀;y₀)/δy=С и составим выражение:

Тогда: - если Δ>0, то в т. M₀(x₀;y₀) ф.f(x,y) имеет экстр.: max→A<0 и min→A>0; - если Δ<0, то в т. M₀(x₀;y₀) экстремума нет; - если Δ=0, то в т. M₀(x₀;y₀) экстр. может быть. Нужны доп. исследования. Отметим, что понятии экстр. ф. нескольких переменных носит локальный хар-р, т.е. значение ф. сравниваются для точек достаточно близких к критическим точкам. Наибольшее и наименьшее знач. ф. нескольких перем. в данной обл. D, содер-ся в Rⁿ наз. абсолютным экстр., кот. достигается либо в критич. точке ф., принадлеж. этой обл., либо в граничной точке обл. 

23 продолж

В естествознании, биологии и т.п. науках при измерении  и наблюдении устан. завис. (связи) меж. величинами. Эти завис. выр. в виде формул. В общем случае задача постановки ф. по конечному числу ее значений мат. не разрешима. Поэтому ставится задача приближ. заменить табл. ф. нек. формулой так, чтобы ее значение как можно меньше отлич. от эксперим. данных. Такая формула получ. На основе эксперим. Данных наз. эмперической. Построение эмп. формулы по соображениям эксперим. данных сост. из 2х этапов:1.Подбор вида такой формулы, завис. от параметров.2.Опр. параметров по нек. критерию. Во мн. случаях хар-р завис. меж. переем. предполог. известным из каких-либо теоритич. соображ., и лишь остается только опр. параметры этой формулы. Обычно для исслед. достаточно одной из 6 формул:1)y=ax+b 2)y=ax²+bx+c 3)y=algx+b 4)y=a/x+b 5)y=ax^b 6)y=ab^x. Чаще всего при подборе эмп. формул пользуются методом наименьших квадратов(МНК), кот. осн. на том, что из данного мн-ва формул вида y=f(x) наилуч. считается та, для кот. сумма квадратов отклонений неблюд. знач. от вычисленных по формулам явл. наименьшим. МНК примен. для подбора парам. после того , как вид ф. y=f(x) определен. Сумма F=Σⁿ_i=1(ax_i+b-y_i)² явл. ф. 2х перем. а и b, и поэтому принимает min значение при max . а и b, при кот. обращаются в 0 частные производные этой ф. по  а и по b.

δF/δa=δ/δa(Σⁿ_i=1(ax_i+b-y_i)²)=2 Σⁿ_i=1(ax_i+b-y_i)* x_i=2[Σax_i+Σbx_i-Σx_iy_i]

δF/δb=δ/δb(Σ(ax_i+b-y_i)²)=2 Σ(ax_i+b-y_i)*1=2[Σax_i+Σb-Σy_i]

Прировняв частное производное к 0 получим сист. 2х лин. ур-ний относительно а и b:

{(Σx_i²)*a+(Σx_i)*b= Σx_iy_i }

{(Σx)*a+n*b=Σy_i} кот. наз. нормалью. Остается лишь решить эту систему. 

24 продолж

Задача интегрального  исчисления – восстановление ф. по известным ее производным. F(x) наз. первообразной ф. к функции f(x) на нек. числовом промежутке I если ф. F(x) дифференцируема на I и в каж. точке этого промежутка производная ф. F(x) равна значению ф. f(x). F(x)= f(x) для всех хЄ I.Например ф. F(x)=cosx явл. первообразной к ф. f(x)=-sinx на всей числовой прямой R, т.к. производная cosx это –sinx. Первообразная ф. –sinx будут cosx-3; cosx+5 и т.д. В общем случае cosx+C. Теорема1:2е дифф-мые на числовом промежутке I ф. F(x) и Ф(х) явл. первообразными одной и той же ф. тогда и только тогда, когда они отличаются на постоянной, т.е. Ф(х)=F(X)+C, C=const. Из этой теоремы следует, что для нахождения первообразной ф. f(x) на числовом промежутке I достаточно:1.Найти первообразную F(x) на промежутке I.2.Семейство всех первообразных задается формулой: F(x)+C. Неопределенный интег. от ф. f(x) на числовом промежутке I наз. совокуп. ее всех пнрвообр. на этом числовом промежутке и обозначается ∫f(x)dx. ∫знак интеграла, f(x) – подинтегральная ф., f(x)dx – подинтегральное выражение, х – переменная интегрирования. Если F(x) – какая-либо первообр. к ф. f(x) на числовом промежутке I, то ∫f(x)dx=F(x)+C, для всех х €I. С геометрической точки зрения неопределенный интег. представляет собой семейство плоских прямых(интег. прямых), смещ. относительно друга вдоль оси ординат в прямой декартовой системе координат Оху. 

     1. Произв. неопред. интеграла = подинтегральной  ф-ии:

                   ( ∫ f(x) dx)’ = f(x) ,  для всех х принадлежащих I.

     2. Дифференц. неопред. интеграла  = подынтегральному выражению:

                    d ∫ f(x) dx = f(x) ,  для всех х принадлежащих I.

     3.  Неопред. интеграл от дифференц. (произв.) некот. ф-ии = сумме этой  ф-ии и произвольной постоянной:

                    ∫ d F(x) = F(x) + C   ( ∫ F(x) dx = F(x) + C)

    4. Постоянный не нулевой множетель можно вынести за знак неопред. интеграла:

             ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx,  k = const ≠ 0 для всех х принадлежащих I.

    5. Аддитивность неопред. интеграла  относительно подынтегральной ф-ии: пусть ф-ии f и g имеют первообразную на промежутке I. Тогда          

Ф-ия f+g имеет первообр. на промежутке I такую, что:

                  ∫ [f(x) + g(x) ] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

   Из св-в 4 и 5 вытекает св-во линейности неопред. интеграла:

    6. Пусть ф-ии f и g имеют первообр. на числовом промежутке I  и числа λ₁ , λ₂ – вещественные одновременно ≠ 0. Тогда ф-ия λ₁ f(x)+λ₂g(x) имеет первообр. на промежутке I, причём:

                  ∫ [λ₁ f(x)+λ₂g(x ]dx =  λ₁ ∫ f(x) dx + λ₂ ∫ g(x) dx 

   1. ∫  0dx = C

   2. ∫  1dx = ∫ dx = x + C

   3. ∫  x^α dx = x^α+1 / α + 1 + C, α≠-1

   4. ∫ dx / x = ln |x| + C

   5. ∫  a^x dx = a^x / ln a + C, a>0, a≠0

   6. ∫  e^x dx = e^x +C

   7. ∫  sin xdx = -cos x + C

   8. ∫  cos xdx = sin x + C

   9. ∫  dx / cos² x = tg x + C

   10. ∫  dx / sin² x = -ctg x + C

   11. ∫  dx / √ 1-x² = arcsin x + C = -arccos x + C

   12. ∫  dx / 1+x² = arctg x + C = -arcctg x + C

 Отметим, что указанные формулы справедливы на тех числ. промежутках, для кот. определены ф-ии, кроме того: если перемен. интегрирование заменить на др. перемен. интегриров., кот. в свою очередь может быть также и ф-ей.

Непосредственное интегриров. основано на св-ве 6 линейности неопред. интеграла. При этом к табличным интегралам приходим путём элементарных преобразований подынтегральных ф-ий: 

∫ 1+2x² / x²(1+x²) * dx = ∫ (1+x²) + x² /  x²(1+x²) * dx =

∫ (1 + x² / x²(1+x²) + x² /  x²(1+x² ) dx = ∫ dx / x² + ∫ dx / 1+x² =

∫ x ^-2 dx + ∫ dx / 1+x²  = x ^-2+1 / -2+1 + arctg x + C = arctgx – 1/x + C/ 

    1. Метод замены переменной (интегриров. подстановкой): если данный интеграл  не может быть найден непосредственным  интегриров., то во многих случаях  введение новой перемен., интегриров. приводит либо к табл. интегралам, либо более к простому интегралу, чем исхлдный. В этом и состоит сущность так называемого метода подстановки.

 Часто  данный интеграл ∫ f(x) dx с помощью подстановки x = φ(t), где φ(t) – непрерывно дифференц. ф-ия на некот. промежутке. Если на указанном промежутке изменения перемен. х ф-ия  f(x) интегрируема, то учитывая, что dx = d φ(t) = φ’(t)dt имеет место равенство: ∫ f(x) dx = ∫ f [φ(t)] φ’ (t)dt

После того, как интеграл с перемен. t будет найден следует возратится к перемен. х, используя при этом рав-во x = φ(t). Иногда вместо подстановки x = φ(t) рассматривают новую перемен. t как х.

     2. Метод интегриров. по часьям. Основан  на след. утверждении:  теорема: пусть ф-ия U = u(x), V = v(x)  дифференц. на некот. промежутке I  и кроме того на этом промежутке ф-ия vu′  имеет первообр. на числ. промежутке I и неопред. интеграл:

          ∫ uv’ dx = uv - ∫ vu' dx   (1), учитывая, что v′ dx = dx, v’ dx = du, формула (1) запишим в виде:

           ∫ udv = uv - ∫ vdu  (2) -  формула интегриров. по частям.

   Метод  2 имеет более ограничен. область применения, чем метод 1. Вместе с тем есть целые классы неопред. интегралов, кот. находятся с помощью 2-го метода. Например, когда интеграл произведение «разнородных» ф=Ий:  x^δ e^αx  ;  x^δ ln ^αx  ;  x^δ e^{cos α x}  ;  x^δ arctg α x

    Заметим, что интегртров. по частям  общих установок, что взять  за u , а что за  dv не имеется. Однако в ряде случаев за u берут ту ф-ию, кот. дифференцировантем упращается, а за dv обычно берут то выражение, содержащее dx, без кот. интегриров. не трудно найти v.

  «Неберущиеся” интегралы Поскольку неопредел. интеграл представляет собой семейство ф-ий y = F(x) + C, то естественно возникает вопрос: Для всякой ли элементарной ф-ии f(x) существ. первообразная, а следоват. и неопредел. интеграл?  Оказывается, что не для всякой. Однако для непрерывной на отрезке [a;b] ф-ии f(x)  существ. первообразная, а значит неопредел. интеграл. Заметим, что , если произв. от элементарной ф-ии всегда явл. элементарнойф-ей, то произв. от элементарной ф-ии  может оказаться непредставимой в виде конечного числа от элементарной ф-ии. Таковыми, например, явл. интегралы:∫ e^-x2  dx ;   ∫sin x / x * dx ;   ∫ sin x ² dx ;  

Рассмотр. Ф-ию у=f(х), заданную на отрезке[а.в], а<в(см. рис. 1).Отрезок [а.в] точками:а=х₀ <x₁ <…<x_n-1 <x_n =в. Разобьем на n- элементарных отрезков [a;x₁], [x₁;x₂],[ x_n-1;в], длины которых обозначаются через ⌂х_i , т.е. ⌂х_i = х_i-х_i-1. В каждом из элементарных отрезков [х_i-1; х_i] возмем произведение точки С_i, значение ф-ии f(C_i)* ⌂х_i ( длина отрезка), получим произведение: f(C_i)* ⌂х_i Составим сумму таких произведенй: S_n=     (1) Сумма (1) наз-ся интегральной суммой Римена ф-ии у= f(х) на отрезке[а.в]. Обозначим через ג- длину наиб. Из отрезка[х_i-1; х_i], т. е. ג =.Определ. интеграл ф-ии у= f(х) на отрезке[а.в] наз-ся конечный предел ее интегральной суммы, когда число отрезка в разбиении не ограничивает возрастания, а длина наиб. Стремится к 0. = При этом числа а и в наз-ся нижн. И верх. Пределами интегрирования, отрезок [а.в]- промежуток интегрирования f(х)- подынтегральная ф-ии. Ф-ия f(х) для котор. на отрезке[а.в] сущ. Интеграл наз-ся интегрируемой на этом отрезке. Необходимым усл. интегрированности ф-ии у= f(х) на отрезке[а.в] явл. Ее ограниченность на этом отрезке. Справедливо утверждение :1)если Ф-ия f(х) интегрируема на отрезке[а.в], то она интегрируема и на любом отр.[c;d] , содержащемся в [а.в]; 2) если Ф-ия f(х) непрерывна на отрезке[а.в] или имеет конечное число точек разрыва на этом отрезке , то она интегрируема на отрезке[а.в]. Геометр. Смысл определ. Интеграла.  Определ. Интеграл  от непрерывной на отрезке[а.в] ф-ии у= f(х), есть S (площадь ) криволенейной трапеции ( с учетом знака ф-ии) , огранич. графиком Ф-ии f(х), осью ОХ и отрезками прямых х= а ,х=в, т.е.

1

2:(линейность  опр.инт.)если ф-я y=f(x),y=g(x)

Интегр.на [a,b],то для люб. вещ.чиселф-я

y=g(x)

интегр.на [a,b] То для люб. Веществ.чис

Также инт. На [a,b] и

3:(аддитивность  опр.инт)если ф-я f(x) инт. На отр.[c,a]и[c,b],то Она инт. на[a,b],причём  

4:(монотон.опр.инт.)если f(x)>=g(x),xэ[a,b],то

       5: (теорема о ср. знач.)для непрер.на отр.[a,b] ф-и f(x) сущ. по

крайн. мере одна точка Eэ[a,b],такая,что 

Геометр.теорем о ср.знач обознач,что на[a,b] сущ.по крайн.

мере одна точка, такая,что криволин. трапец,огранич сверхуграфик.

 ф-и y=f(x) равновелика прямоуг. С тем же основ.a,b и высотой f( )

Пусть ф-я  f(x)непрерывна на[a,b],тогда она интегрир на люб. Отр.[a,x]

гдеxэ[a,b]т.е.для всех xэ[a,b] имеет смысл интеграл Рассмотрим ф-ю,к-ая опред на[a,b] и а назыв. Интегр. С перемен. Верхним пределом показ.Т1

«пусть ф-я  y=f(x) непрер.на[a,b],тогда произ. Сущ. В каждой точке   Xэ[a,b] и равна.Т.о. -интеграл с переем. Верхн. пределом,является первообр.дляф-и f(x).А т.к. всякая др. первообр для ф-и f(x) может отлич.от первообр. (x) только на постоян то устанавл. связь м/у определ. И неопредел. интегралом,С-пост.Предполож.,чтоF(x)

первообр. К  ф-и (x)Т.к. первообр. (x)и F(x) отлич.от постоян,то получ,xэ[a,b],C-постоян

Подставляя  в это равенство x=a находим:

,F(a)+C=0,C=-F(a) 

Положив последнее  равенство x=b находим

получаем  формулу Ньют-Лейбн

Значит