Шпаргалка по "Прикладной математике"

Ординарный  поток – если вероятность попадания на элементарный промежуток времени двух или более событий пренебрежительно мала с вероятностью попадания на этот же промежуток одного события.

Все эти  потоки – простейшие.

23. Нормальный закон  распределения: функция  плотности и функция  распределения, основные  числовые характеристики. (Закон Гаусса).

X ~ N(m,σ)

M(X)=m; D(X)=σ²

24. Функция Лапласа  и ее свойства. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм».

Функция Лапласа:

Правило «трех сигм»

Для любой случайной  величины X ~ N(a; σ) вероятность

25. Неравенство Чебышева. Понятие о законе больших чисел. Теорема Чебышева (без док-ва). Теорема Бернулли (без док-ва).

Неравенство Чебышева: Если случайная величина Х имеет конечное математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) , то для любого ε>0 справедливо равенство

Под законом больших чисел понимается обобщенное название группы теорем, утверждающих, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

Теорема Чебышева: Если дисперсии независимых случайных величин Х₁,Х₂,…,Хn ограничены сверху числом В, то для произвольного, сколь угодно малого ε>0 справедливы неравенство

 и предельное равенство 

Теорема Бернулли: Если вероятность успеха в каждом n независимых испытаний постоянна и равна p, то для произвольного, сколь угодно малого ε>0 справедливо равенство

  , где m – число успехов в серии из n испытаний.

26. Центральная предельная теорема (без док-ва). Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Центральная предельная теорема: Если случайные величины Х₁,Х₂,…,Х_n одинаково распределены и имеют конечную дисперсию σ², то при n→∞

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р успеха в каждом испытании отлична от 0 и 1, а число испытаний n достаточно велико, то для расчета Р_n(k) можно пользоваться приближенной формулой

(k=0,1,2,...),

где

Интегральная  теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р успеха в каждом испытании отлична от 0 и 1, а число испытание n достаточно велико, то для расчета вероятности Р_n(k₁;k₂) того, что число успехов в серии из n испытаний будет заключено в промежутке [k₁;k₂), можно пользоваться приближенной формулой Р_n(k_1,k₂) = Ф₀(u₂) – Ф₀(u₁)  (k₁ = 0,1,2,..; k₂>k₁), где

27. Двумерные случайные  величины, формы задания  закона распределения.

Двумерной называют случайную величину (X,Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,y).

Дискретной  называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения  вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Он может быть задан:

1. в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности;
2. аналитически, например, в виде функции распределения.

Функцией  распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию F(x,y), определяющую для каждой пары чисел (x,y) вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение меньшее y: F(x,y) = P(X<x, Y<y).

28. Характеристики двумерной  случайной величины: математическое ожидание  и дисперсия компонент.

Зная  плотность распределения составляющих X и Y непрерывной двумерной случайной величины (X,Y), можно найти их математическое ожидание и дисперсии:M(X) = ∫x·f₁(x)dx, M(Y) = ∫y·f₂(y)dy;

D(X) = ∫[x-M(X)]²·f₁(x)dx = ∫x²·f₁(x)dx – [M(X)]²;

D(Y) = ∫[y-M(Y)]²·f₂(y)dy = ∫y²·f₂(y)dy – [M(Y)]².

29. Зависимость случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства.

Степень зависимости случайных величин  измеряется с помощью ковариации случайных величин X и Y:    cov(X,Y) = M[(X-MX)(Y-MY)]=>cov(X,Y)=M(XY)-MX·MY

Ковариация  может принимать произвольные вещественные значения, поэтому не вполне пригодна к использованию в качестве меры связи случайных величин. В этом смысле удобнее использовать коэффициент корреляции случайных величин Х и Y:

Если  коэффициент корреляции ρ(Х,Y)=0, то это не обязательно означает независимость случайных величин Х и Y. В этом случае говорят, что данные случайные величины некоррелированны. Из независимости следует некоррелированность, но наоборот – не всегда!

Коррелированными  называют две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля.

30. Предмет математической  статистики. Генеральная  совокупность, выборка,  ее свойства.

Математическая  статистика изучает методы сбора, классификации, обработки и анализа данных, полученных опытным путем. Основная задача математической статистики состоит в получении выводов о массовых явлениях и процессах по данным наблюдений над ними или экспериментов. Генеральной совокупностью называют совокупность результатов всех мысленно возможных наблюдений за какой-либо случайной величиной Х, проводимых в одинаковых условиях. Выборкой называют результаты ограниченного числа наблюдений за случайной величиной Х. Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по выборке как некоторой части генеральной совокупности делать выводы о генеральной совокупности в целом.

Выборку называют репрезентативной, если она адекватно отражает исследуемые свойства генеральной совокупности. Конкретной выборкой называется конкретный набор чисел х₁,х₂,…,х_n, полученный в результате наблюдений за случайной величиной Х, т.е. набор, состоящий из n реализаций случайной величины Х.

Выборочным  средним называется: – эта величина является выборочным аналогом математического ожидания M(X). Выборочным аналогом дисперсии является: – эта величина называется выборочной дисперсией.

31. Статистический и  интервальный ряды  распределения.

Расположив  элементы выборки в порядке не убывания, получим вариационный ряд х₁,х₂,…,х_n. Если в вариационном ряду есть повторяющиеся элементы, то выборку можно записать в виде статистического ряда распределения, т.е. в виде таблицы:

Х	Х’1	X’2	...	X’k
р			...

Для непрерывных  случайных величин при достаточно больших объемах выборки n вместо статистического ряда распределения используют интервальный вариационный ряд,

X	[a1;a2)	[a2;a3)	...	[av;av+1)
p			...

Ширина  интервала

(где x_(min) – минимальный элемент выборки, х_(max) – максимальный, расчет Δ производится с числом знаков после запятой, на один больше чем в исходных данных). Границы интервалов считаются так: левая граница (л.г.)=х_(min)-0,5Δ; правая граница (п.г.)=(л.г)+Δ

32. Выборочные аналоги  функции распределения  и функции плотности.  Полигон, гистограмма,  кумулята.

Выборочным  аналогом плотности распределения  f_x(x) случайной величины Х служит выборочная плотность распределения . Графиком этой функции является гистограмма – ломанная с вершинами в точках , где через обозначены середины интервалов – полигоном частот, а фигура, состоящая из прямоугольников, в основании которых лежат интервалы группирования (a_j,a_j+1), а высотами являются значения , называется гистограммой. По выборочной плотности распределения легко построить выборочную функцию распределения:

При этом ломанная с вершинами в точках называется кумулятой.

33. Свойства точечных  оценок числовых  характеристик и  параметров распределения.

Статистической  оценкой называется любая функция γ=γ(Х₁,Х₂...,Х_n) от элементов выборки Х₁,Х₂,…,Х_n .

Оценка  обладающая свойством называется состоятельной оценкой.

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки .

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру .

Оценка, обладающая свойством  называется эффективной оценкой параметра Θ.

Выборочное  среднее  является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой математического ожидания МХ.

34. Точечная оценка  математического  ожидания и ее  свойства.

Несмещенная оценка математического ожидания

 

35. Точечная оценка  дисперсии, несмещенная  оценка дисперсии.

Смещенной оценкой дисперсии служит выборочная дисперсия

;

Несмещенной оценкой генеральной  дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

36. Метод моментов.  Метод максимального  правдоподобия.

Момент – числовая характеристика с.в.

Метод моментов:

1. Определяется зависимость Θ=g(α₁,α₂, …, α_r) параметра Θ от начальных моментов  с первого по r-й.
2. Для вычисления оценки параметров Θ по данному методу в эту зависимость g вместо неизвестных теоретических моментов подставляют их выборочные аналоги

Метод наибольшего правдоподобия:

1. Составляется функция правдоподобия:
2. Находится такое значение Θ, при котором эта функция является максимальной, т.е. , и выбирается в качестве оценки.

37. Интервальные оценки  параметров распределения.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

38. Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения.