Роль математики вестествознании

Роль  математики в естествознании

     Математика  в естествознании:

• - играет роль универсального языка, специально предназначенного для лаконичной точной записи различных утверждений. Конечно, все, что можно описать языком математики, поддается выражению на обычном языке, но тогда изъяснение может оказаться чересчур длинным и запутанным;
• - служит источником моделей, алгоритмических схем для отображения связей, отношений и процессов, составляющих предмет естествознания. С одной стороны, любая математическая схема или модель - это упрощающая идеализация исследуемого объекта или явления, а с другой - упрощение позволяет ясно и однозначно выявить суть объекта или явления.

     Поскольку в математических формулах и уравнениях отражены некие общие свойства реального  мира, они повторяются в разных его областях. На этом свойстве построен такой своеобразный метод естественно-научного познания, как математическая гипотеза, когда к готовым математическим формам пытаются подобрать конкретное содержание. Для этого в подходящее уравнение из смежных областей науки  подставляют величины другой природы, а затем производят проверку на совпадение с характеристиками исследуемого объекта. Эвристические возможности этого  метода достаточно велики. Так, с его  помощью были описаны основные законы квантовой механики: Э. Шрёдингер, приняв волновую гипотезу движения элементарных частиц, нашел уравнение, которое  формально не отличается от уравнения  классической физики колебаний нагруженной  струны, дал его членам совершенно иную интерпретацию (квантово-механическую). Это позволило Шрёдингеру получить волновой вариант квантовой механики.

     В современном естествознании роль математики непрерывно возрастает, ее аппарат  совершенствуется, а язык ее становится очень своеобразным и сложным, недоступным  для неспециалистов.

     Наиболее  широко и эффективно применимы в  современном естествознании математические методы теоретического исследования: аксиоматический метод, метод математической гипотезы и математического моделирования. В настоящее время математическое моделирование часто осуществляется с использованием компьютерной техники.

Математика  как специфический язык естествознания

     Можно выделить несколько  направлений математизации  естествознания:

• О количественном анализе и количественной формулировке качественно установленных фактов, обобщений и законов конкретных наук;
• О построение математических моделей (об этом несколько позже) и даже создание таких направлений, как математическая физика, математическая биология и т.д.;
• О построение и анализе конкретных научных теорий, в частности их языка.

     Рассмотрим  математику как специфический язык науки, отличающийся от естественного  языка, где, как правило, используют понятия, которые характеризуют  определенные качества вещей и явлений (поэтому их часто называют качественными). Именно с этого начинается познание новых предметов и явлений. Следующий  шаг в исследовании свойств предметов  и явлений - образование сравнительных  понятий, когда интенсивность какого-либо свойства отображается с помощью  чисел. Наконец, когда интенсивность  свойства или величины может быть измерена, т.е. представлена в виде отношения  данной величины к однородной величине, взятой в качестве единицы измерения, тогда возникают количественные, или метрические, понятия.

       Прогресс в научном познании часто связан с введением именно количественных понятий и созданием количественного языка, которые и исторически, и логически возникают на основе языка качественных описаний. Количественный язык выступает как дальнейшее развитие, уточнение и дополнение обычного, естественного языка, опирающегося на качественные понятия.

     Таким образом, количественные и качественные методы исследования не исключают, а  скорее дополняют друг друга.

     Известно, что количественные понятия и  язык использовались задолго до того, как возникло экспериментальное  естествознание. Однако только после  появления последнего они начинают применяться вполне сознательно  и систематически. Язык количественных понятий наряду с экспериментальным  методом исследования впервые успешно  использовал Г. Галилей.

     Преимущества  количественного  языка математики в сравнении с  естественным языком состоят в следующем:

       Такой язык весьма краток и точен. Например, чтобы выразить интенсивность какого-либо свойства с помощью обычного языка, нужно несколько десятков прилагательных. Когда же для сравнения или измерения используются числа, процедура упрощается. Построив шкалу для сравнения или выбрав единицу измерения, можно все отношения между величинами перевести на точный язык чисел. С помощью математического языка (формул, уравнений, функций и других понятий) можно гораздо точнее и короче выразить количественные зависимости между самыми разнообразными свойствами и отношениями, характеризующими процессы, которые исследуются в естествознании. С этой целью используются методы математики, начиная от дифференциального и интегрального исчисления и кончая современным функциональным анализом;

       Опираясь на крайне важные для познания законы науки, которые отображают существенные, повторяющиеся связи предметов и явлений, естествознание объясняет известные факты и предсказывает неизвестные.

     Здесь математический язык выполняет две  функции:

• с помощью математического языка точно формулируются количественные закономерности, характеризующие исследуемые явления;
• точная формулировка законов и научных теорий на языке математики дает возможность при получении из них следствий применить богатый математический и логический аппарат.

     Все это показывает, что в любом  процессе научного познания существует тесная взаимосвязь между языком качественных описаний и количественным математическим языком. Эта взаимосвязь  конкретно проявляется в сочетании  и взаимодействии естественно-научных  и математических методов исследования. Чем лучше мы знаем качественные особенности явлений, тем успешнее можем использовать для их анализа  количественные математические методы исследования, а чем более совершенные  количественные методы применяются  для изучения явлений, тем полнее познаются их качественные особенности.

Математика - источник представлений и концепций  в естествознании

       Назначение математики состоит в том, она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых можно решать проблемы специальных наук.                                                                                                                                                                              

     Это обусловлено особенностью математики описывать не свойства вещей, а свойства свойств, выделяя отношения, независимые от каких-либо конкретных свойств, то есть отношения отношений. Но поскольку и отношения, выводимые математикой, особые (будучи отношениями отношений), то ей удается проникать в самые глубокие характеристики мира и разговаривать на языке не просто отношений, а структур, определяемых как инварианты систем. Поэтому, кстати сказать, математики скорее говорят не о законах (раскрывающих общие, существенные, повторяющиеся и т.д. связи), а именно о структурах.

     Эти глубинные проникновения в природу  и позволяют математике исполнять  роль методологии, выступая носителем  плодотворных идей. Относительно сказанного современный американский исследователь  Ф. Дайсон пишет: "Математика для  физики - это не только инструмент, с  помощью которого она может количественно  описать явление, но и главный  источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые  теории". Близкие мысли высказывает  известный математик, академик Б. Гнеденко, также подчеркивая, что роль математики не ограничивается функцией аппарата вычисления, подчеркивал, что математика - определенная концепция природы.

     Поскольку привилегия математики - выделять чистые, безотносительные к какому-либо физическому (химическому или социально насыщенному  содержанию), она тем самым вырабатывает модели возможных еще неизвестных  науке состояний. Естествоиспытатель может выбирать из них и примеривать к своей области исследования. Это стимулирует научный поиск, пробуждая и будоража ученую мысль. В силу указанной особенности математику характеризуют как склад готовых костюмов, пошитых на все живые существа, мыслимые и немыслимые (Р. Фейнман), вообще на все возможные природные ситуации. То есть это своеобразный портной для разнообразных вещественных образований, которые могут быть вписаны в эти готовые одежды.

     В свое время И. Кант метко определил: "Математика - наука, брошенная человеком  на исследование мира в его возможных  вариантах". Если физику или вообще естествоиспытателю позволено видеть мир таким, каков он есть, то математику дано видеть мир во всех его логических вариантах. Иначе сказать, физик  не может строить мир, противоречивый физически (и уж тем более - логически), математику же разрешены построения, противоречивые физически, лишь бы они  не страдали логическими противоречиями. Физики говорят, каков мир, математики исследуют, каким бы он мог быть в  его потенциальных версиях. Это  и придает стимул воображению. Как  замечает австрийский математик  и писатель нашего времени Р. Музиль, математика есть роскошь броситься  вперед, очертя голову, потому математики предаются самому отважному и  восхитительному авантюризму, какой  доступен человеку. Стоит заметить лишь, что раскованность и рискованность - преимущество не только собственно математика, но и любого исследователя, если и  поскольку он мыслит математически, то есть пытаясь дать, по выражению  Г. Вейля, "теоретическое изображение  бытия на фоне возможного".

     Истина  состоит в том, что нематематические науки, сталкиваясь с запретами  в проявлении какого-либо свойства, действия, не знают границ, до которых  распространяется их компетенция. Это  способна определить и узаконить  лишь математика, владеющая искусством расчета на основе количественного  описания явлений. Другие науки знают  лишь, что нечто разрешено, но они не умеют знать той черты, до которой это разрешено, не умеют устанавливать пределов возможного - той количественной меры, определяющей вариантность изменений.

     Методологическое  значение математики для других наук проявляется еще в одном аспекте. Поскольку ее абстракции отвлечены  от конкретных свойств, она способна проводить аналогии между качественно  различными объектами, переходить от одной  области реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением "наводить мосты над пропастью". Там, где конкретная наука останавливается (кончается ее компетенция), математика в силу ее количественного подхода  к явлениям, свободно переносит свои структуры на соседние, близкие и  далекие, регионы природы.

     Таковы  некоторые методологические уроки, внушаемые математикой. Однако, сколь  ни эффективна математическая наука, и  на нее брошены некоторые тени, а лучше сказать: эти тени - есть продолжение ее достоинств.

     Мы  говорим: математический аппарат исследования применим там, где выявлена однородность, точнее сказать, математика и приводит природные образования к однородностям. Но тем самым она лишает мир  многообразия и богатства качественных проявлений, ибо счет, по выражению  отечественного математика современности  И. Шафаревича, "убивает индивидуальность". Он пишет. Мы имеем, скажем, яблоко, цветок, кошку, дом, солдата, студента, луну. Можно  сосчитать и объявить, что их 7. Но 7 чего? Единственный ответ: "7 предметов". Различия между солдатом, луной, яблоком  и т.д. исчезают. Они все потеряли свою индивидуальность и превратились в лишенные признаков "предметы". То есть счет выравнивает вещи, убирая "персональные" характеристики. Как шутил В. Маяковский, математику все едино: он может складывать окурки и паровозы.

     Описывая  объект, процесс, математика выявляет какую-то лишь одну (существенную) характеристику и, прослеживая ее вариации, выводит  закономерность. Все остальные характеристики уходят в тень, иначе они будут мешать исследованию. Конечно, эти другие также могут оказаться предметом изучения, но будучи взяты по тому же математическому сценарию: каждый раз только один единственный параметр, одно выделенное свойство в отвлечении от остального разнообразия. Напрашивается аналогия. Ее проводит Ю. Шрейдер, называя математику пародией на природу. И в самом деле. Пародия схватывает какую-то одну характеристическую черту пародируемого, за которой уже не видно других особенностей, просто они не важны.

     Однако  из этого обстоятельства не следуют  лишь негативные выводы. Во-первых, математика по-иному работать не может, а во-вторых, в подобном подходе свое преимущество, оно сопряжено, так сказать, с "чистотой" описания: налицо четкая заданность исследования, когда необходимо проследить "поведение" объекта на основе определенного  свойства, вычленить линию изменений, тенденцию развития и передать информацию в строгих графиках, схемах, уравнениях.

     Используя математические методы исследования, вовлекая их в познавательный поиск, науки должны учитывать возможности  математики, считаясь с границами  ее применимости. Имеется в виду то, что сама по себематематическая обработка содержания, его перевод  на язык количественных описаний не дает прироста информации.