Решение задачи о бросании монеты

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Удмуртский  государственный  университет»

Институт  экономики и управления

Кафедра математических методов  в экономике 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа

на тему: «Решение задачи о бросании монеты» 
 
 
 

Выполнил:

студент гр. 618-21

Магизова И. Р.

Научный руководитель:

зав. каф., доктор ф.-м. наук

Летчиков А. В. 
 
 
 
 
 
 

Ижевск, 2010

Содержание 

Введение

     Решение задачи 

     Два игрока наблюдают за мальчиком, который  без остановки подбрасывает монету. Результаты подбрасывания записываются последовательностью символов Г  или Р. Первый игрок утверждает, что  тройка ГГГ встретиться раньше, чем  тройка ГРГ, второй поспорил, что произойдет обратное.

     Кто из игроков имеет больше шансов выиграть в этом споре? 

     Решение:

     Так как утверждения игроков сходятся в том, что в тройке победителя первой выпадает герб (Г) (соответственно Р – решка), то рассмотрим следующие ситуации записи символов:

     Вероятность того, что на каждом шаге выпадет  Г или Р равна .

     Пусть – событие, при котором выигрывает первый игрок. Тогда по формуле полной вероятности 

вычисляем: 

это мы получили вероятность того, что выпадет  тройка ГГГ. Но тройку ГГГ можно получить, пройдя несколько кругов, возвращаясь к Г по схеме выше.

     Рассчитаем вероятности событий, при которых мы возвращаемся в Г: 

где – вероятность одного круга, но таких кругов может быть несколько: 

и т.д. Тогда вероятность исходного события: 

получили  бесконечную геометрическую прогрессию.

     Аналогично  для события . Где – событие, при котором выигрывает второй игрок: 
 

Тогда вероятность события  будет выглядеть следующим образом: 

     Т.к. знаменатели обеих бесконечных  геометрических прогрессий равны  , т.е. , значит вероятности – являются бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

     Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: 

где соответственно равно

     Таким образом,  
 

     Значит  вероятность выпадения тройки ГРГ  больше, чем ГГГ. Следовательно, в  этом споре второй игрок имеет  больше шансов на выигрыш.

     Заключение