Решение уравнений в SciLab

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Создание математических моделей различных физических процессов  и построение методов решения  физических задач является предметом  математической физики. Постановка задач  математической физики заключается  в построении математических моделей, описывающих основные закономерности изучаемых физических явлений. Это  моделирование состоит в выводе уравнений, которым удовлетворяют  величины, характеризующие данный процесс. При этом исходят из основных физических законов, которые учитывают наиболее существенные черты явления, отвлекаясь от второстепенных характеристик.

Многие задачи механики и  физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными. В ряде случаев приходится иметь  дело с интегральными и интегро-дифференциальными  уравнениями. В дипломной работе будем рассматривать именно дифференциальные уравнения, как наиболее часто встречающиеся  в задачах математической физики. Среди таких уравнений можно  выделить  уравнение теплопроводности, которое позволяет описать процессы распространения тепла и явления  диффузии.

Автоматизация научных исследований позволяет получать более точные и полные модели исследуемых объектов и явлений, ускорять ход научных  исследований и снижать их трудоемкость, изучать сложные объекты и  процессы, исследование которых традиционными  методами затруднительно, позволяет.

Автоматизированные системы  научных исследований (АСНИ) отличаются от других типов автоматизированных систем (АСУ, АСУТП, САПР и т.д.) характером информации, получаемой на выходе системы. Прежде всего, это обработанные или обобщенные экспериментальные данные, но главное - полученные на основе этих данных математические модели исследуемых объектов, явлений или процессов. Адекватность и точность таких моделей обеспечивается всем комплексом методических, программных и других средств системы. В АСНИ могут использоваться также и готовые математические модели для изучения поведения тех или иных объектов и процессов, а также для уточнения самих этих моделей. АСНИ поэтому являются системами для получения, корректировки или исследования моделей, используемых затем в других типах автоматизированных систем для управления, прогнозирования или проектирования.

Существует немало АСНИ, которые используются в различных отраслях научной деятельности. Среди них можно выделить пакет прикладных программ SCILAB, который распространяется свободно.

 

 

 

 

 

 

1. ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ SCILAB

 

Scilab — пакет прикладных математических программ, предоставляющий мощное открытое окружение для инженерных (технических) и научных расчётов.

Scilab содержит сотни математических функций, и есть возможность добавления новых, написанных на различных языках (C, C++, Fortran и т. д.). Также имеются разнообразные структуры данных (списки, полиномы, рациональные функции, линейные системы), интерпретатор и язык высокого уровня.

Scilab был спроектирован как открытая система, и пользователи могут добавлять в него свои типы данных и операции путём перегрузки.

В системе доступно множество  инструментов:

• 2D и 3D графики, анимация
• Линейная алгебра, разреженные матрицы (sparse matrices)
• Полиномиальные и рациональные функции
• Интерполяция, аппроксимация
• Симуляция: решение ОДУ и ДУ
• Scicos: гибрид системы моделирования динамических систем и симуляции
• Дифференциальные и не дифференциальные оптимизации
• Обработка сигналов
• Параллельная работа
• Статистика
• Работа с компьютерной алгеброй
• Интерфейс к Fortran, Tcl/Tk, C, C++, Java, LabVIEW

Scilab имеет схожий с MATLAB язык программирования. В состав пакета входит утилита, позволяющая конвертировать документы Matlab в Scilab.

Scilab позволяет работать с элементарными и большим числом специальных функций (Бесселя, Неймана, интегральные функции), имеет мощные средства работы с матрицами, полиномами (в том числе и символьно), производить численные вычисления (например, численное интегрирование) и решение задач линейной алгебры, оптимизации и симуляции, мощные статистические функции, а также средство для построения и работы с графиками.

Для численных расчётов используются библиотеки Lapack, LINPACK, ODEPACK , Atlas и другие.

В состав пакета также входит Scicos — инструмент для редактирования блочных диаграмм и симуляции (аналог simulink в пакете MATLAB). Имеется возможность совместной работы Scilab с программой LabVIEW.

Программа доступна для различных  операционных систем, включая Linux и Microsoft Windows. Возможности Scilab могут быть расширены внешними программами и модулями, написанными на разных языках программирования. Программа имеет открытый исходный код, что позволяет как свободное коммерческое использование и распространение неизменённых версий, так и некоммерческое распространение измененных версий, которые должны включать в себя исходный код. Для коммерческого распространения измёненных версий необходимо согласование с INRIA.

Начиная с версии 5.0 программа  распространяется под совместимой с GNU GPL 2 лицензией CeCILL.

Отличия от некоторых коммерческих программ:

• Бесплатность.
• Свободность (с версии 5.0).
• Маленький размер — дистрибутив 4 версии занимал менее 20 МБ против более чем двухгигабайтного пакета MATLAB. Инсталлятор 5 версии (5.3.2) увеличился в объёме до 121 МБ.
• Возможность запуска в консоли без использования графического интерфейса, в том числе в версии под Windows (в UNIX и Windows версиях MatLab-а эта возможность присутствует тоже). Это позволяет производить автоматизированные вычисления, есть пакетный режим.

 

2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

2.1.УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

 

Пусть физическое тело, температура  которого в точке с координатами (x, y, z) в момент времени t определяется функцией u(x, y, z, t). Если температура различных частей тела различна, то в теле будет происходить перенос тепла от более нагретых участков тела к менее нагретым. Рассмотрим какую-нибудь поверхность S внутри тела и обозначим ее малый элемент ∆s. Тогда количество тепла, проходящего через элемент поверхности ∆s за время ∆t, будет определяться выражением

   (2.1)

где k > 0 – коэффициент теплопроводности, а – нормаль к элементу поверхности ∆s в направлении распространения тепла. Здесь и далее , a ▽u означает градиент функции u. Будем считать, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т. е. коэффициент теплопроводности не зависит от направления нормали, а зависит только от координат точки. Кроме того, обозначим поток тепла через единичную площадку через q т. е.

     (2.2)

Тогда для произвольного  объема V , ограниченного замкнутой  поверхностью S, изменение количества тепла за промежуток времени (t₁, t₂) будет определяться интегралом

    (2.3)

где – внутренняя нормаль к поверхности S.

С другой стороны, количество тепла, необходимое для изменения температуры выделенного объема тела на ∆u = u(x, y, z, t₂)−u(x, y, z, t₁),

равно

   (2.4)

где ρ и γ – плотность и теплоемкость данного физического тела.

Если внутри рассматриваемого тела имеются источники тепла  плотности F(x, y, z, t), то количество тепла, выделяемого (или поглощаемого) ими в объеме V за промежуток времени (t₁, t₂), будет равно

     (2.5)

Очевидно, что баланс тепла  для объема V определяется соотношением Q₂ = Q₁ + Q₃, т. е.

                                                                                                                      (2.6)

Применяя к поверхностному интегралу формулу Гаусса-Остроградского,

Получим

  (2.7)

где 

Так как подынтегральная  функция непрерывна, а объем V и  промежуток времени (t₁, t₂) произвольны, то для любой точки (x, y, z) и любого момента времени справедливо соотношение

   (2.8)

Это уравнение называется уравнением теплопроводности неоднородного  изотропного тела. Если тело однородно, то коэффициенты γ, ρ, k являются постоянными и уравнение теплопроводности принимает вид

   (2.9)

где

Если кроме того отсутствуют  внутренние источники тепла, то получим  однородное уравнение теплопроводности в виде

   (2.10)

Для ряда частных задач  уравнение теплопроводности может  быть сведено к двумерному или  одномерному случаю. Так, для очень  тонкой однородной пластины уравнение (1.10) принимает вид

    (2.11)

В случае тонкого однородного  стержня уравнение (2.10) сводится к одномерному уравнению

     (2.12)

Следует заметить, что во всех описанных выше случаях тепловой обмен с окружающей средой не учитывается.

Для корректной постановки задачи о нахождении температуры  в любой точке тела в каждый момент времени следует к уравнению теплопроводности, как и в случае струны, добавить начальные и граничные условия, которые будут определять начальное распределение температуры внутри тела и тепловой режим на границе. Начальные условия будут иметь вид

     (2.13)

Граничные условия могут  задаваться несколькими различными способами, например:

1. В каждой точке поверхности  M(x, y, z, t) ∈ S задается температура

       (2.14)

2. На поверхности тела  задается тепловой поток  , который определяет граничные условия вида

    (2.15)

Таким образом, в общем  случае задача о распространении  тепла в изотропном теле корректно  ставится следующим образом: найти  решение уравнения (2.8) , удовлетворяющее начальному условию (2.13) и одному из граничных условий (2.14) или (2.15).

2.2.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

 

Пусть дано дифференциальное уравнение (2.12).

Требуется найти функцию  в области с границей при заданных краевых условиях. Согласно методу сеток в плоской области строится сеточная область , состоящая из одинаковых ячеек. При этом область должна как можно лучше приближать область . Сеточная область (то есть сетка) состоит из изолированных точек, которые называются узлами сетки. Число узлов будет характеризоваться основными размерами сетки : чем меньше , тем больше узлов содержит сетка. Узел сетки называется внутренним, если он принадлежит области , а все соседние узлы принадлежат сетке . В противном случае он называется граничным. Совокупность граничных узлов образует границу сеточной области .

Сетка может состоять из клеток разной конфигурации: квадратных, прямоугольных, треугольных и других. После построения сетки исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением во всех внутренних узлах сетки. Затем на основании  граничных условий устанавливаются  значения искомого решения в граничных  узлах. Присоединяя граничные условия  сеточной задачи к разностным уравнениям, записанных для внутренних узлов, получаем систему уравнений, из которой определяем значения искомого решения во всех узлах сетки.

Замена дифференциального  уравнения разностным может быть осуществлена разными способами.

Один из способов аппроксимации  состоит в том, что производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются линейными комбинациями значений функции  в узлах сетки по тем или иным формулам численного дифференцирования.

Различные формулы численного дифференцирования имеют разную точность, поэтому от выбора формул аппроксимации зависит качество аппроксимации дифференциального  уравнения разностным уравнением.

Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности

,     (2.16)

 

- известная функция. Будем искать  решение этого уравнения в  области

Заметим, что эту полуполосу всегда можно привести к полуполосе, когда . Уравнение (2.16) будем решать с начальными условиями:

,

- известная функция, и краевыми  условиями:

     (2.17)

где - известные функции переменной .

Для решения задачи область  покроем сеткой .

Узлы сетки, лежащие на прямых , и будут граничными. Все остальные узлы будут внутренними. Для каждого внутреннего узла дифференциальное уравнения (1.16) заменим разностным. При этом для производной воспользуемся следующей формулой: