Решение тригонометрических уравнений

sinх = 0           или         2cosх - 1 = 0,

  х = pn , где n ÎZ          cosх = 1/2,

                                        х = ± p/3 + 2pn , где n ÎZ .

Ответ: pn , ± p/3 + 2pn , где n ÎZ .

3. sinх  + sin5х = 0,

Используем формулы перевода суммы в произведение, т. е. применим тригонометрическое разложение на множители. Получим:

2sin3х cos 2х = 0,

sin3х = 0                    или       cos2х = 0,

  3х = pn , где n ÎZ                  2х = p/2 + pn , где n ÎZ ,

  х = pn/3 ,                                 х = p/4 + pn/2 ,

Ответ: pn/3 , p/4 + pn/2 , где n ÎZ .

4. sin³ х - cos³х = sin²х  - cos²х,

Применим алгебраическое разложение на множители с использованием формул разности кубов и разности квадратов. Получим:

(sinх - cosх)(sin²х + sinх cosх + cos²х) = (sinх - cosх) (sinх + cosх),

(sinх - cosх)(sin²х + sinх cosх + cos²х) - (sinх - cosх) (sinх + cosх) = 0.

(sinх - cosх)(1 + sinх cosх - sinх - cosх) = 0,

(sinх - cosх)(sinх (cosх - 1) - (cosх - 1)) = 0,

(sinх - cosх)( cosх - 1)(sinх - 1) = 0,

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряет смысл.

sinх - cosх = 0    или     cosх - 1 = 0    или    sinх - 1 = 0,

sin(х - p/4) = 0               cosх = 1                    sinх = 1

х - p/4 = pn                      х = 2pn                    х = p/2 + 2pn , где n ÎZ ,      

х = p/4 + pn.

Ответ: p/4 + pn, 2pn, p/2 + 2pn , где n ÎZ .

4.  Общий алгоритм  поиска решения тригонометрических  уравнений.

Пункт 1. Привести углы в стандартный вид, используя  четность, нечетность функций, формулы  приведения;

Пункт 2. Определить есть ли тригонометрическая формула во всем выражении, если есть, то применить;

Пункт 3. Установить при возможности  вид уравнения, если уравнение установленного вида, то решить его;

Пункт 4. При наличии в  выражении sin, cos и tg или ctg выразить tg, ctg через sin и cos;

Пункт 5. Выполнить алгебраические преобразования;

Пункт 6. Установить при возможности вид уравнения, если уравнение установленного вида, то решить его;

Пункт 7. Выполнить тригонометрические преобразования:

1. Преобразования по углу:

а) Углы одинаковые - применить формулы одного аргумента во всем выражении или его части;

б) Углы разнятся в два раза - применить формулы двойного или половинного угла;

в) Углы разные - рассмотреть возможность применения формул перевода суммы в произведение или наоборот;

2. Преобразование по функции:

а) При одинаковых углах, если степени разнятся в два (и более раз),  рассмотреть возможность приведения уравнения к квадратному (высших степеней) уравнению, используя формулы одного аргумента или формулы, приводящие к одной функции (половинного аргумента, универсальной замены);

б) При наличии  степеней применить формулы понижения степени;

в) При необходимости  приведения к одной функции использовать формулы одного аргумента, формулы  половинного угла, формулы выражения  синуса, косинуса, тангенса через тангенс  половинного угла и другие;

г) При необходимости приведения к кофункции использовать формулы приведения;

Пункт 8. Определить вид уравнения и решать согласно решению установленного вида.

Примечание:

1. Алгебраические преобразования  и тригонометрические преобразования чередуются после каждого законченного цикла преобразований.
2. Установление вида уравнения производить после каждой законченной операции пунктов 5 и 7.
3. При наличии тригонометрических функций в знаменателе, при наличии тангенса и котангенса найти область определения уравнения и произвести отбор корней (исключить посторонние).

 

Примеры. Решить уравнения:

1. cos²х - sin²х = 2cos²2х,

Пункт 1 - отсутствует; пункт 2: т. к. cos²х - sin²х = cos2х

сos2х =  2cos²2х,

Пункт 5 ( осуществим перенос и разложение на множители:  2cos²2х - cos2х = 0,   

    cos2х (2cos2х -1) = 0,

Пункт 6 - Уравнение вида - произведение равно нулю:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен  нулю, а другой при этом не теряет смысл.

cos2х  = 0      или                    2cos2х -1 = 0,

2х  = p/2 + pn, где n ÎZ            cos2х = 1/2,

  х =  p/4 + pn/2                         2х = ± p/3 + 2pn, где n ÎZ

                                                     х =  ± p/6 + pn

Ответ: p/4 + pn/2, ± p/6 + pn, где n ÎZ .

Пункты 1 ( 4 отсутствуют .Выполним пункт 5  «Алгебраические преобразования» - приведем уравнение к целому виду, учитывая, что sin х/2 ¹ 0,

т. е.  х/2 ¹pn , х ¹ 2pn.

сosх + 1 = 2 sin х/2,

Выполним пункт «Тригонометрические преобразования» 7. 1. б, заметив, что углы разнятся в два раза. Применим формулу половинного аргумента для косинуса:

2 cos²х/2 = 2 sin х/2,

Перейдем к пункту 5, перенесем  2 sinх/2 влево, сократим на два:

           cos²х/2 -  sin х/2 =0,   sin ²х/2 +sin х/2 – 1 =0,   sinx/2 = t,   ïtï£ 1

          t² + t – 1 = 0, t₁ = посторонний корень,  t₂ =

        х/2 = ( - 1)ⁿ  arcsin +p n , где n ÎZ .   х = ( - 1)ⁿ 2 arcsin +2p n

Ответ: ( - 1)ⁿ 2 arcsin +2p n, где n ÎZ .  

 

3. 1 + sin2х = (cos3х + sin3х)².

Выполним пункт 5  «Алгебраические преобразования» - возведем скобку в квадрат:

1 + sin2х  = 1 + 2 sin3х cos3х,

Выполним пункт «Тригонометрические преобразования» 7. 2.б , применив формулу двойного угла для синуса:

1 + sin2х  = 1 +  sin6х,

sin2х - sin6х = 0,

Так как углы разные, выполним пункт 7. 1. в, применив формулу перевода суммы в произведение: 2 sin(- 2х) cos4х = 0,

Выполним пункт 1, вынесем минус за знак синуса и сократим на - 2 (пункт 5):

sin2х  cos4х = 0,

Пункт 8. Уравнение вида -  произведение равно нулю:

sin2х  = 0                  или                 cos4х = 0,

2х  =  pn, где n ÎZ ,                           4х = p/2 +  pn, где n ÎZ ,      

 х  =  pn/2,                                            х =   p/8 +  pn/4, 

Ответ:  pn/2,   p/8 +  pn/4, где n ÎZ .

4) 2cos²х - cos2х = 2sin²х - sin2х.

С приобретением  навыка целесообразно перед решением делать анализ:

Пунктов 1 ( 6 нет; углы разняться в два раза (пункт 7), применяем формулу половинного аргумента для синуса и косинуса (можно использовать формулы двойного угла):1 + cos2х - cos2х = 1 - cos2х - sin2х

Далее алгебраические преобразования :

сos2х + sin2х = 0,

Уравнение однородное первой степени, решаем путем  деления обеих частей на cos2х .

cos2х ¹0, т. к. в противном случае уравнение не будет иметь решения.

1 + tg2х  = 0,        tg2х = - 1,  2х = - p/4 +  pn, где n ÎZ ,

х =  - p/8 +  pn/2.

Ответ: - p/8 +  pn/2, где n ÎZ .

5) 1 + cosх = - tg(p/2 + х/2).

Анализ: привести угол в стандартный вид; выразить котангенс через косинус, деленный на синус (пункт 3), выполнить алгебраические преобразования (пункт 5), т. е. привести уравнение к целому виду:

1 + cosх  =  сtg х/2,             1 + cosх =  ,

Т. к. деление на нуль не определено, то sinх/2 ¹ 0,  х ¹ 2pn .

sinх/2(1 + cosх) = cosх/2,

Перейдем  к тригонометрическим преобразованиям. Углы разнятся в два раза, целесообразно  применить формулу половинного  аргумент для косинуса:

2sinх/2 cos²х/2 = cosх/2,

Далее алгебраические преобразования - перенесем cosх/2 и вынести за скобку:

cosх/2(2sinх/2 cosх/2 - 1) = 0,

Далее тригонометрические преобразования  - используем формулу двойного угла для синуса:

cosх/2(sinх - 1) = 0,

 Уравнение  вида - произведение равно нулю:

cosх/2 = 0               или       sinх - 1 = 0,

  х = p + 2pn,                         х = p/2 + 2pn, где n ÎZ .

Ответ:  p + 2pn,   p/2 + 2pn, где n ÎZ .

6)  sin³х - cos³х = sin²х - cos²х.

Анализ: алгебраические преобразования - осуществим разложение на множители с помощью формул разности кубов и разности квадратов:

Учитывая, что sin²х + cos²х = 1, получим:                                

(sinх - cosх)(1 + sinх cosх - sinх - cosх) = 0,

  (sinх - cosх)(1 - cosх)(1  - sinх) = 0,

Далее решаем:

sinх - cosх = 0        или     1 - cosх = 0      или    1  - sinх = 0,

х =p/4 + pn ,                         х = 2pn ,                      х = p/2 + 2pn ,где n ÎZ .

7) sin²2х + sin²3х + sin²4х + sin²5х = 2

   Анализ: углы  разные, степень вторая, необходимо  понизить ее, используя формулы  понижения степени:

  = 2,

4 - cos 4х - cos 6х - cos 8х - cos 10х = 4,

cos 4х  + cos 6х + cos 8х + cos 10х = 0,

Углы  разные, осуществим перевод суммы  в произведение (п. 7. 1.в), группируя по два члена:

   2cos5х cosх + 2cos9х cosх = 0,

    cosх (cos5х + cos9х) = 0,

2 cosх  (cos7х cosх) = 0,               cos ²х cos7х = 0,

cos ²х  = 0          или                    cos7х = 0

х = p/2 + pn                                   7х = p/2 + pn ,    х = p/14 + pn /7, где n ÎZ .

Ответ: p/2 + pn, p/14 + pn /7, где n ÎZ .

Ключевые  слова.

Сначала алгебраические преобразования, потом тригонометрические .

Тригонометрические  преобразования сначала по углу потом  по функции.

5.  Отбор корней.

 Отбор корней производится:

-     в уравнениях, имеющих ограничения по области  определения;

- в уравнениях с дополнительным условием, например: «найти все решения, принадлежащие отрезку [ - p/2; p/2]» и тому подобным;

- в смешанных уравнениях в соответствии с областью определения, например,

, т. е. решив данное уравнение  необходимо отобрать корни при  которых cosх  ³ 0.

 

Способ 1. Способ неравенства.

 

Пункт 1. Записать двойное неравенство для неизвестного (х), соответственное данному промежутку или условию; решить уравнение;

Пункт 2. Для синуса и косинуса разбить решения на два;

Пункт 3. Подставить в неравенство вместо неизвестного (х) найденные решения и решить его относительно n;

Пункт 4. Учитывая, что n принадлежит Z, найти соответствующие неравенству значения n;

Пункт 5. Подставить полученные значения n в формулу  корней (при необходимости).

Пример.   Решить уравнение  2cos²х - cos2х = 2 sin²х - sin 2х. Найти корни, принадлежащие промежутку [ - p/2; p 2/].

 -p/2 £ х £ p/2,

2cos²х +cos2х - 2sin²х +  sin2х =0,

cos2х  + sin2х = 0 ½: cos2х ¹0, т. к. при cos2х = 0 уравнение не имеет решения.

1 + tg2х  = 0,          tg2х  = - 1,     х = - p/8 + pn /2, где n ÎZ .

Т. к. -p/2 £ х £ p/2, то        -p/2 £  - p/8 + pn /2 £ p/2 ,

  -p/2 + p/8 £   pn /2 £ p/2 + p/8,

     -6/8 £   n  £ 10/8,  т. к. n ÎZ, то n = 0, 1

х = -  p/8,  х = - p/8 + p /2  х = 3p/8

Ответ: p/8 + pn /2, где n ÎZ.   p/8;  3p/8.

Способ 2. Отбор на окружности.

Пункт 1. Решить уравнение;

Пункт 2. Обвести  дугу, соответствующую данному промежутку на круге;

 

Пункт 3. Отметить решения на круге, для чего:

- разделить виды решения для синуса и косинуса;

 - подсчитать значения х при n равных минимальным значениям до тех         пор пока        значения не выйдут за пределы данного промежутка (при необходимости);

Пункт 4. Выбрать  решения, попавшие на обведенную дугу.

 

Пример.   Решить уравнение cos³х + sin³х = cos2х. Найти корни, принадлежащие промежутку ( - p/2; p/2).

(cosх + sinх)(1 - cosх sinх )= cos2х,

(cosх + sinх)(1 - cosх sinх ) - (cosх - sinх)( cosх + sinх ) = 0,

(cosх + sinх)(1 - cosх sinх - cosх + sinх ) = 0,

(cosх + sinх)(1 +  sinх )(1 - cosх) = 0

cosх  + sinх = 0     или     1 +  sinх  = 0     или     1 - cosх = 0

х = - p/4 + pn                  х = - p/2 + 2pn             х = 2pn, где n ÎZ.

 

n =0, х = - p /4               n =0, х = - p /2                n =0, х = 0

n =1, х =  3p /4              n =1, х =  3p /2                n =1, х = 2p