Реферат "по математике".Понятие процента

Введение 

      Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и  тех же долях, вызванная практическими  соображениями, родилась еще в древности  у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».

      Проценты  были особенно распространены в Древнем  Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

      Ныне  процент – это частный вид  десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. В школьном учебнике  «Математика, 5»,авторов  Н.Я. Виленкина и др. дана еще одна любопытная версия возникновения знака %.[1] Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

      Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического  приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

      Начнем  с небольшой исторической справки  о задачах на дроби. Эти задачи являются древнейшими из дошедших до нас по письменным источникам; их решение было весьма сложной проблемой до тех пор, пока не изобрели обозначения для обыкновенных дробей, не разработали правила действий с ними. В Древнем Египте, например, существовали иероглифы только для обозначения дробей с числителем 1. Единственным исключением была дробь 2/3, для которой имелось соответствующее обозначение. Не случайно поэтому в тексте одной из задач папируса Ахмеса находим выражение «две трети от трети скота» — выразить эту часть стада дробью 2/9 египтяне еще не могли. В том же папирусе Ахмеса встречается задание «Разделить 7 хлебов между 10 лицами», ответ к которому в современной записи можно выразить так: 2/3 + 1/30. Решение более сложных задач на дроби, аналогичных задаче 172, было для египтян довольно сложной проблемой.

      Гораздо позже Анания Ширакаци (Армения, VII в.) записал ответ в одной из задач  в виде: 1/41/61/121/22, что выражает дробь 6/11, получающуюся сложением указанных  дробей.

      Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно». Это обстоятельство как будто бы отразилось и на методике обучения решению задач на дроби. До сих пор методисты особо выделяют аликвотные дроби, называя их «долями», и различают терминологически, например, нахождение доли числа и дроби числа. Спору нет, изучение дробей должно начинаться с аликвотных дробей также как обучение решению составной задачи — с выделения его первого шага. Но ниоткуда не следует, что методическая терминология учителя должна доводиться до учащихся и быть их рабочей терминологией. Тем более, что теперь дробь не определяется как доля или совокупность нескольких долей, как это было в учебниках А.П. Киселева или И.Н. Шевченко. В противном случае с дробями, частями и долями будет трудно избежать вряд ли понятных ученикам формулировок вроде такой: «Вы умеете решать задачи на нахождение числа по заданной его доле. Научимся решать задачи на нахождение числа по заданной его дроби». Мы считаем малополезным для учащихся выделение «долей» из всех дробей и задач на нахождение доли числа и числа по его доле из соответствующих задач на дроби, так как в русском языке слова «доля» и «часть» являются синонимами. Слово «доля» употребляют и в тех случаях, когда часть не выражается аликвотной дробью. Имея в виду, что часть числа может быть выражена обыкновенной дробью (в том числе аликвотной), десятичной дробью или в процентах, мы будем говорить о нахождении части числа и числа по его части как общих задачах, частные случаи которых приводят к нахождению доли, процентов числа и обратным задачам. Это небольшое терминологическое уточнение позволит в дальнейшем подчеркнуть взаимосвязь способов решения простейших задач на дроби и проценты. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      I. Решение задач на применение основных понятий о процентах. 

      Сотая часть метра - это сантиметр, сотая  часть рубля – копейка, сотая  часть центнера - килограмм. Люди давно  замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное название – процент. Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.

      Один  процент – это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.

      Определение одного процента можно записать равенством:

      1%  =  0,01 * а

      5%=0,05,  23%=0,23, 130%=1,3  и т. д 

      Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая  часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.  

      Пример 1. Найти: 25% от 120.

      Решение:

      1) 25% = 0,25;

      2) 120 . 0,25 = 30.

      Ответ: 30.  

      Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь 

      Пример 2. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

      Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%. 

      Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от  другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.  

      Пример 3.  При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

      Решение: - такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану.   Запишем в процентах   =110%

      Ответ: 110%

      Пример 4. 1. На сколько процентов 10 больше 6? 2. На сколько процентов 6 меньше 10?

      Решение:

      1. ((10 - 6).100%)/6 = 66 2/3 %

      2. ((10 - 6).100%)/10 = 40%

      Ответ: 66 2/3 %,  40 %. 

      Пример 5.  Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

      Решение:

          1)6+ 34 =40 (кг)      масса всего сплава.

      2) = 85%     сплава составляет медь.

      Ответ: 85%. 

      Пример 6. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

      Решение:  Пусть цена товара х руб, тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е.   1,25х;, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е. 0,75 *1,25х= 0,9375х, тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к. х - 0,9375х = 0,0625х ;          0,0625х/х . 100% = 6,25%

      Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%. 

      Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо  отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%.

      Пример 7.  Найти число, если 15% его равны 30.

      Решение:

      1) 15% = 0,15;

      2) 30 : 0,15 = 200.

      или:   х - данное число;    0,15.х = 300;     х = 200.

      Ответ: 200. 

      Пример 8. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна.?

      Решение.  Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби).  480 : 0,24= 2000 кг = 2 т

      Ответ: 2 т 

      Пример 9. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных  грибов?

      Решение: 1кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е. 10 кг : 0,05=20 кг

      Ответ: 20 кг 

      Пример 10. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

      Решение:

      1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе  в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого  вещества)

      2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых  из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).

      Ответ: 2,5 кг.  

      Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов  разделить на эту дробь. 

      Решение задач на понятия "процентное содержание", "концентрация", "%-й  раствор". 

      1. Процентное содержание. Процентный раствор. 

      Пример 1.  Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

        Решение:  10 х 0,15 = 1,5 (кг) соли.

        Ответ: 1,5 кг. 

      Процентное  содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.  

      Пример 2. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

      Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

      1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;

      2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание  олова в сплаве;

      3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;

      Ответ: 40%, 60%. 

      2. Концентрация.

      Если  концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.  

      Пример 3. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.

      Решение: 300 х 0,87 = 261 (г).

      В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

      Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.

      Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1.

      Если  известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:      К=р/100%  к - концентрация вещества;   р - процентное содержание вещества (в процентах).  

      Пример 4.  Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?