Равномерный закон распределения.

Равномерный закон распределения.

   На практике встречаются случайные величины, о которых заранее известно, что  они могут принять какое-либо значение в строго определенных границах, причем в этих границах все значения случайной величины имеют одинаковую вероятность (обладают одной и той  же плотностью вероятностей).

   Например, при поломке часов остановившаяся минутная стрелка будет с одинаковой вероятностью (плотностью вероятности) показывать время, прошедшее от начала данного часа до поломки часов. Это  время является случайной величиной, принимающей с одинаковой плотностью вероятности значения, которые не выходят за границы, определенные продолжительностью одного часа. К подобным случайным величинам относится также и погрешность округления. Про такие величины говорят, что они распределены равномерно, т. е. имеют равномерное распределение.

    Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [а, в], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т. е. если дифференциальная функция распределения f(х) имеет следующий вид:

Иногда это  распределение называют законом равномерной плотности. Про величину, которая имеет равномерное распределение на некотором отрезке, будем говорить, что она распределена равномерно на этом отрезке.

   Найдем  значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения  и осью Ох, равна 1, то

   откуда  с=1/(b-a).

    Теперь функцию  f(x) можно представить в виде 

   Построим  функцию распределения F(x), для чего найдем выражение F(x) на интервале [a, b]:

   Графики функций f(x) и F(x) имеют вид:

    Найдем числовые характеристики.

   Используя формулу для вычисления математического  ожидания НСВ, имеем:

   Таким образом, математическое ожидание случайной  величины, равномерно распределенной на отрезке [a, b] совпадает с серединой этого отрезка.

   Найдем  дисперсию равномерно распределенной случайной  величины:

   откуда  сразу же следует, что среднее квадратическое отклонение:

   Найдем  теперь вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное  распределение, на интервал (a,b), принадлежащий целиком отрезку [a, b]:

   Геометрически эта вероятность представляет  собой  площадь заштрихованного  прямоугольника. Числа а и b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.