Принцип наименьшего действия и закона Ципфа

         Луценко Э.Л.

Научный руководитель: Силенко В.Е. 

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ И ЗАКОН ЦИПФА 

        Целью данной работы является исследование принципа наибольшего и наименьшего действия в разных сферах деятельности.

    Возникнув в XVII столетии, общая теория экстремальных, т. е. максимальных и минимальных, значений величин выдвинула обширный ряд принципов науки. Первые шаги, сделанные Ферма в области дифференциального исчисления, были ускорены стремлением найти общие методы для изучения вопросов об экстремумах. В последующем столетии эти методы были значительно обогащены с изобретением вариационного исчисления. Становилось все яснее и яснее, что физические законы природы в высшей степени удачно формулируются в терминах принципа минимальности, обеспечивающего естественный подход к более или менее полному решению частных проблем.

        Наиболее общая формулировка законов движения механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия или принципом Гамильтона. Согласно этому принципу, каждая механическая система с S степенями свободы характеризуется некоторой функцией где — обобщенные координаты; а — обобщенные скорости системы , причем движение системы удовлетворяет следующему условию. Пусть в моменты система занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений всех обобщенных координат Тогда между этими положениями система движется таким образом, что интеграл имеет наименьшее возможное значение. Функция называется функцией Лагранжа, а вышеприведенный интеграл — действием. Тот факт, что функция Лагранжа содержит только а не более высокие производные, отражает фундаментальное обстоятельство: механическое состояние полностью определяется заданием координат и скоростей. Согласно принципу наименьшего действия, например, движение тела в центральном (в частности, гравитационном) поле происходит по траектории, минимизирующей функционал действия.

       Принцип наименьшего действия в социально-экономической сфере был выявлен профессором филологии из Гарварда Дж. К. Ципфом. В 1949 г. он сформулировал его в следующей форме: ресурсы (люди, товары, время, знания или любой другой источник продукта) самоорганизуются так, чтобы свести к минимуму затраченную работу, и, таким образом, приблизительно 20—30 % любого ресурса производят 70—80 % деятельности, связанной с этим ресурсом («закон 20—80 или 70—30»). Для того чтобы продемонстрировать неизменную повторяемость этой схемы, профессор Ципф рассматривал статистику народонаселения, область филологии и динамику промышленности. Например, он произвел анализ статистики всех браков, заключенных в 1931 г. в 20 кварталах г. Филадельфия, и показал, что 70 % браков было заключено между людьми, проживавшими друг от друга на расстоянии, не большем 30 % протяженности этой территории.

        Однако, в научном обороте под названием «закона Ципфа» осталась закономерность, которой подчиняется отсортированный частотный словарь любого текста: если все слова языка упорядочить по убыванию частоты их использования, то частота n-го слова в таком списке окажется приблизительно обратно пропорциональной его порядковому номеру n (так называемому рангу этого слова): . Данная зависимость известна также как «универсальное гиперболическое ранговое распределение», которое обеспечивает упомянутое выше соотношение «80—20» и наблюдается, например, в таких ситуациях:

•  закон Лотка — 80 % работы выполняют 20 % сотрудников (80 % научных публикаций пишут 20 % ученых);

•  закон Бредфорда — 80 % профильной информации сосредоточено в 20 % научных журналов;

•  принцип Парето — 20 % населения владеют 80 % материальных ценностей.

          Исследования данного направления, продолженные, например, У.Изардом, показали наличие и других аналогий между физико-механическими и социально-экономическими закономерностями. Например, было установлено, что интенсивность (V) взаимодействия двух городов (регионов) в терминах грузооборота, пассажиропотока или других контактов (наподобие изученных Ципфом) хорошо укладывается в формулу где — численности городов; — расстояние между ними; — коэффициенты. Совершенно очевидно сходство с более известным соотношением, описывающим закон всемирного тяготения: , где — сила притяжения; — массы взаимодействующих тел; — расстояние;   — постоянная силы тяготения. Были также сформулированы принцип максимума Понтрягина, принцип оптимальности Беллмана и другие постулаты, характеризующие оптимальное поведение сложных систем.

   Таким образом, одни и те же закономерности можно наблюдать в разных науках и сферах деятельности. В данной работе мы исследовали наиболее важные сферы деятельности, в которых применяется теория экстремальных значений, а также закон Ципфа, проследили аналогию между физико-механическими и социально-экономическими закономерностями.