Применение новых информационных технологий в преподавании математики по теме "Интеграл и первообразная"

1. Тема нашего урока «Первообразная и интеграл. Применение интегралов». Исходя из названия темы, назовите цель урока.
2. План урока: сначала повторим тот материал, который нам будет необходим для изучения темы, затем рассмотрим новые вопросы, в конце урока напишем небольшую самостоятельную работу по новой теме, чтобы увидеть, как поняли новую тему. В течение урока часть учащихся будет выполнять определенную работу на ПК. Для верного выполнения этой работы на столах лежат инструкции к работам №1, №2, №3 соответственно для трех учащихся, которые будут выполнять эти работы (см. приложение1). Результаты  и оценки будут оглашены на следующем уроке после проверки выполненных работ (в зависимости от затраченного времени на выполнение задания, верности его выполнения и количества попыток решения)
3. Запишите в тетрадях число и тему урока.

1. Мы сегодня должны узнать различные области применения интегралов, научиться применять интегралы в этих областях.
2. Слушают учителя.
3. Записывают в тетрадях число и тему урока.

1. Определяет  группу учащихся для индивидуальной работы (работа №1 на ПК)
2. Для остальных учащихся организует устную работу с использованием презентации№1: предлагает вопросы, ответить на которые надо устно, при этом в тетрадях выписать ответы. В процессе фронтальной работы с учащимися выписывает верные ответы на доску.
1. Найти производную функции в точке a:
1. f(x)=2x²-3x+ ; a=1;
2. f(x)=-6x³-sin2x+9x- ; a=0;
3. f(x)=-cos6x+3x-0,3; a= ;
4. f(x)=(1-x)³+10x; a=0.
2. Найти среди предложенных функций ту, которая является первообразной для данной функции:

8)F(x)=5x⁴-20x³;  1)F(x)= -x⁵-1; 

4)F(x)=5x⁴-20x³+3;  5)F(x)=6x⁶- .

f(x)=sin2x+3; 

2)F(x)= cos2x+3x-4;  4)F(x)=2cos2x;                   

6)F(x)= - cos2x+3x;  8)F(x)=2cos2x+3x.

f(x)= - ; 

 3)F(x)= - x;   5)F(x)= - +1;          

 9)F(x)= - x;  7)F(x)= - - x.

f(x)=2cos ;  

2)F(x)=sin +2;  5)F(x)=4sin ; 

4)F(x)=- 4sin ;  8)F(x)=2sinx-1.

3. Вычислить: ;  ;  ;  .

Оказывается, у  нас получились не простые ответы, а интересные даты: в 1797 г. известный ученый Лагранж впервые ввел термин «производная» и символ f^/, g^/; d 1675 г. Лейбниц впервые ввел символ ; в 1690 г.  Бернулли впервые ввел термин «интеграл». (С помощью оси времени ЭУИ «Математика,5-11 классы» учитель показывает учащимся портрет Лейбница и дает о нем короткую справку.)

3. Вернемся к заданиям: какова связь между производной и первообразной?
4. Какова связь между первообразной и неопределенным интегралом?
5. Что же такое – определенный интеграл ? В чем заключается его физический и геометрический смысл?

1. Учащиеся, сидящие за ПК, выполняют индивидуальную работу согласно инструкции №1 (ЭУИ  «Математика,

5-11», упражнения  в разделе «Первообразная» №2, 4, 8, 11, в разделе «Интеграл. Площадь криволинейной трапеции.» №6, 7.

2. Остальные учащиеся выполняют устные задания учителя, записывают ответы в тетрадях, составляют краткий конспект урока.
1. Найти производную функции в точке a:         

                 1  7   9  7.

2. Найти среди предложенных функций ту, которая является первообразной для данной функции:
1. 6  7  5
3. Вычислить: 

                  1  6  9  0

Слушают учителя, отвечают на его вопросы.

3. Найти производную функции и найти первообразную функции – значит выполнить взаимно-обратные операции.
4. Неопределенный интеграл –это есть первообразная функции в общем виде.
5. Определенный интеграл-это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми х=а, х=b и самим отрезком [a;b].

      Определенный интеграл-это приращение первообразной на отрезке [a;b].

      Определенный интеграл- это предел интегральных сумм.

С помощью определенного  интеграла можно найти площадь  криволинейной трапеции- в этом заключается геометрический смысл определенного интеграла; можно найти закон изменения координаты точки по закону ее скорости- в этом заключается физический смысл определенного интеграла.

5-11 классы», виртуальная лаборатория «Графики уравнений и неравенств»

1. Прочитать несколькими способами следующие записи:
1. F^/(x)=f(x);
2. x^/(t)=v(t), x-координата, t-время, v-скорость;
3. v^/(t)=a(t), v-скорость, t-время, а-ускорение;
4. А^/(х)=F(x), A-работа,  F-сила, х-координата;
5. А^/(t)=N(t), A-работа, N-мощность, t-время;
6. q^/(t)=I(t), q-электрический заряд, I-сила переменного тока, t-время;
7. Q^/(t)=c(t), Q-количество теплоты, c-теплоемкость, t-время.

2. Оказывается, интеграл широко применяется в физике

А что еще  мы умеем находить с помощью определенного  интеграла?

3. Как найти площадь следующих фигур?(см. приложение, рисунки созданы с помощью виртуальной лаборатории «Графики уравнений и неравенств»)

Итак, определенный интеграл помогает решить некоторые  вопросы физики, геометрии.

1. Прочитать несколькими способами следующие записи:

а) производная  F(x) –есть f(x);  f(x)-есть первообразная для F(x);  неопределенный интеграл -есть функция F(x).

b)-q)-по аналогии, учитывая названия переменных.

2. С помощью определенного интеграла мы можем вычислять площади плоских фигур.

3. Отвечают  на вопрос учителя с помощью понятия  определенного интеграла.

Ответы: 1)

2) ,

3)

4) +

5)

1. Предлагает  учащимся найти объем куба с ребром 4см; прямоугольного параллелепипеда  с измерениями  2см, 3см, 5см; объем  воды, которую вмещает некоторая  ваза; объем лимона; объем детской  игрушки- пирамидки.
2. Как вы думаете, как же можно найти объемы этих тел?
3. Учитель соглашается с предложением учащихся и с помощью наглядных материалов (пирамида, ваза, указка, нарезанный лимон), рисунков на доске и пояснений показывает учащимся, что объем тела можно вычислить по формуле V= , где S(x)-функция площади сечения данного тела, перпендикулярного данной оси ОХ; тогда объем тела вращения можно вычислить по формуле V= , учитывая, что перпендикулярное сечение представляет собой круг, площадь которого вычисляется по известной формуле, причем f(x)- функция, графиком которой ограничена на отрезке [a;b] фигура вращения.
4. Предлагает решить задачу: Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=х²+1, х=0, х=1, у=0. 
5. Таким образом можно вычислять объемы тел вращения. (можно заметить, что тело вращения в решенной задаче напоминает столовую тарелку) 

1. Находят значения предложенных тел: объем куба равен 64 см³, объем прямоугольного параллелепипеда равен 30см³, в остальных случаях вопрос остается открытым (проблема)
2. Учащиеся догадываются и предлагают «разбить» тела на части и рассмотреть сумму объемов составляющих тел.
3. Слушают учителя, ведут краткие записи в тетрадях.
4. Решают задачу (сначала выполняют необходимые построения в тетрадях, часть учащихся выполняют эту работу с помощью ПК, согласно предложенной учителем инструкции №2, проверяют правильность построения с помощью предложенного учителем рисунка, выполненного в виртуальной лаборатории «Графики уравнений и неравенств», затем выполняют соответствующие вычисления, проверяют их  с помощью записей на доске):

S= = ( + + ) = (куб. ед.)

1. Предлагает  вычислить объем тел, полученных при вращении вокруг оси абсцисс  криволинейной трапеции, ограниченной линиями  а) у= , х=1, х=4, у=0; б) у=х², у=х. ( наблюдает за работой учащихся, при необходимости дает им индивидуальные консультации, предлагает на экране нужные для решения задач рисунки, созданные с помощью виртуальной лаборатории)

2. Как можно  вычислить объем тел, полученных при вращении вокруг оси ох следующих фигур (предлагает рисунки из ранее проделанной работы, этап подготовки к изучению темы, задание 3)
3. Итак, с помощью интеграла можно находить объемы более сложных тел вращения.

1. Решают  предложенные задачи самостоятельно, проверяют решения с помощью  рисунков на экране и записей на доске, часть учащихся продолжают работать на ПК согласно инструкции №2.
2. Отвечают на вопросы учителя.
3. Слушают учителя.

1. Предлагает  учащимся выполнить самостоятельную  работу:

Определяет группу учащихся для индивидуальной работы на ПК.

2. Предлагает решения задач для самопроверки.
3. Подводит итоги по выполнению задания.
4. Подводит итоги урока (Что нового узнали на уроке? В каких областях применим интеграл? Как можно вычислить объем тела вращения?)
1. Предлагает домашнее задание: а) Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями
• у=х+2, у=1, х=0, х=2;
• у= , у=х;
• у=х²-4х+6, у=1, х=1, х=3;
• у=cosx, y=1, x= , x=- .

б)*Найти задачу с интересным условием, которая решалась бы с применением интегралов, создать  презентацию ее решения. (последнее задание выполняется по желанию, защита работы возможна на конференции)

1. Выполняют предложенную учителем работу самостоятельно в тетрадях, часть учащихся индивидуально выполняют работу на ПК согласно инструкции №3 (Электронное пособие «Математика,5-11 классы», упражнения №1, 2 в разделе «Приложения интеграла.»).
2. Выполняют самопроверку решений.
3. Слушают учителя.
4. Слушают учителя, отвечают на его вопросы.
5. Слушают инструктаж по выполнению домашнего задания.