Автор: Натали Кукушкина, 10 Июня 2010 в 20:24, курсовая работа
В последнее время в таких областях как теория вязкоупругости, электрохимия, теория процессов диффузии и др. появляются модели, сформулированные в терминах производных и интегралов дробного (не целого) порядка. Особый интерес представляют численные алгоритмы решения различных задач, содержащих дробные производные. В данной работе рассмотрен алгоритм приближенного вычисления дробных производных Римана-Лиувилля. Он основан на определении дробных производных Грюнвальда-Летникова и может применяться и для приближенного вычисления дробных производных Римана-Лиувилля, поскольку дробные производные Грюнвальда-Летникова и Римана-Лиувилля совпадают для некоторых классов функций. В качестве примера рассмотрена задача о нахождении интенсивности теплового потока, которая приводит к дробной производной порядка ½. Данная задача была рассмотрена в книге И. Подлюбного [1], где при получении численного решения был использован принцип “short memory” (принцип ограниченной памяти).
Введение……………………………………………………………………………....3
Основные определения……………………………………………………………...4
Определение дробной производной и интеграла Грюнвальда-Летникова…….7
Эквивалентность определений Грюнвальда-Летникова и Римана-Лиувилля…11
Алгоритм вычисления дробной производной Римана-Лиувилля, основание на определение Грюнвальда-Летникова…………………………………………… 13
Вычисление теплового потока…………………………………………………… 14
Текст программы…………………………………………………………………...17
Список литературы…………………………………………………………………20
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет «Прикладная математика и механика»
Кафедра
«Математического и прикладного анализа»
Отчет по курсовой работе
«Приближенное вычисление левосторонней дробной производной
Римана-Лиувилля.»
Выполнила:
студентка 4-го курса в/о
Иванченко
Н.В.
Проверила:
Шишкина
Э.Л.
Содержание
Введение…………………………………………………………
Основные
определения…………………………………………………
Определение
дробной производной и
Эквивалентность
определений Грюнвальда-
Алгоритм
вычисления дробной производной
Римана-Лиувилля, основание на определение
Грюнвальда-Летникова…………………………
Вычисление
теплового потока……………………………………
Текст
программы………………………………………………………
Список
литературы……………………………………………………
Введение
В
последнее время в таких
Основные
определения
Рассмотрим
отрезок вещественной оси .Нам потребуются следующие
функциональные классы.
Опр.1
Опр.2.
Функция называется абсолютно
непрерывной на , если по любому
что для любой конечной системы попарно
непересекающихся отрезков ,
такой, что
будет выполнено
Класс всех
таких функций обозначается .
Опр.3. Через , где обозначим класс функций , непрерывно дифференцируемых на до порядка , причем Заметим, что .
Определим
некоторые специальные функции,
которые будут нами использоваться
в дальнейшем.
Опр.4. Гамма-функцией
называется интеграл Эйлера второго
рода
который сходится при всех , для которых .
Здесь . На
полуплоскость гамма-функция доопределяется
с помощью аналитического продолжения
этого интеграла.
Опр.5. Бета-функцией называется интеграл Эйлера первого рода
.
Он выражается
через гамма-функцию по формуле
Опр.6. Биномиальные
коэффициенты определяются по формуле
Опр.7. Для функции ,
заданной на отрезке , каждое
из выражений
называется дробной
производной Римана-Лиувилля порядка , соответственно левосторонней
и правосторонней.
Опр.8. Пусть .
Интегралы
где , называются интегралами дробного порядка . Первый из них называют иногда левосторонним, а второй – правосторонним. Данные интегралы принято называть дробными интегралами Римана-Лиувилля.
Для существования производной Римана-Лиувилля достаточно, чтобы
дробные интегралы определялись на функциях и существует почти всюду.
Опр.9 Функцией-оригиналом будем называть любую действительную или комплексную функцию f(t) действительного аргумента t, , которая:
1.
удовлетворяет условию
для всех h, |h| .
2. возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие постоянные M>0, s , что для всех
Число s называется показателем роста . cм[1] Лавр Шабат
Функция F(s) комплексной переменной s, определенная формулой
называется преобразованием Лапласа функции или изображением функции .
Если функция является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1, 2 и F(s) служит её изображением, то в любой точке , где непрерывна, справедливо равенство
где интеграл берется вдоль любой прямой Re s=a>s и понимается в смысле главного значения, т.е. как предел интеграла вдоль отрезка [a-ib, a+ib] при b .
Формула (12) определяет обратное преобразование Лапласа.
Если функция непрерывна при и является оригиналом, то преобразование Лапласа производной целого порядка n функции имеет вид
(13)
где под
понимается правое предельное значения
Определение
дробной производной
и интеграла Грюнвальда-Летникова
Рассмотрим
функцию
Ее первая производная
имеет вид
Применив
это определение дважды, получим
Для третьей
производной имеем:
Продолжая так
и далее, получим общую формулу:
где – биномиальные коэффициенты.
Введем
величину
которая называется
конечной разностью порядка п
функции f(t)
с шагом h и центром в точке t.
Если h > 0, то разность называется левосторонней, а если h < 0 правосторонней.
Производную порядка
п можно записать в виде
В
определении (1) положим
тогда
Поскольку
Рассмотрим теперь интеграл Римана который запишем как предел
интегральных
сумм с длинной частичного интервала
Выберем = получим
Для двойного
интеграла будем иметь
Для получения
общей формулы выпишем тройной
интеграл
Заметим,
что коэффициенты строятся по правилу ,
где n-порядок
интеграла. Таким образом, для n-кратного
интеграла будем иметь
(2)
Сравним
формулы (1) и (2). В (1) коэффициент можно
записать в виде
И для (1)и
(2) получим
и
Тогда
формулы (1) и (2) можно объединить в одну
где n-целое число произвольного знака.
Исходя из (3) определим интегродифференцирование формулой
)
Эквивалентность
определений Грюнвальда-
Выясним
для каких функций определение Римана-Лиувилля
эквивалентно определению Грюнвальда-Летникова.
Рассмотрим q < 0. Обозначим разность дробного
интеграла Римана-Лиувилля и дробной производной
Грюнвальда-Летникова функции f через
А:
Разобьем
сумму на две группы:
Здесь К не зависит
от N, но достаточно большое, чтобы выполнялось
асимптотическое разложение (см. [2])
Получим
Теперь, для q < -1 сумма слагаемых в первой скобке ограничена. Следовательно, если также ограничена для k из первой группы, то наличие множителя обеспечивает исчезновение первой суммы при . Исследуя три множителя второй суммы, заметим, что существенно меньше единицы если и что третий множитель стремится к нулю при Следовательно, если ограничена для k из второй группы, то каждое слагаемое второй суммы убывает как Поскольку во второй группе слагаемых меньше чем N, наличие множителя обеспечивает стремление второй суммы к нулю.
Таким образом, если ограничена на и два определения для ограниченной функции идентичны для . Свойства производной Грюнвальда-Летникова
и |
показывают,
что оба определения эквивалентны для
любого . При этом необходимо
выбирать так чтобы
.
Алгоритм
вычисления дробной
производной Римана-Лиувилля,
основание на определение
Грюнвальда-Летникова.
Рассмотрим алгоритмы аппроксимации для произвольного когда значение известно в равномерно расположенной точке в промежутке от 0 до изменения независимой переменной.
Информация о работе Приближенное вычисление левосторонней дробной производной Римана-Лиувилля