Приближение функций

Приближение функций

§1 Постановка задачи интерполирования

Рассмотрим простейшую задачу интерполирования на отрезке. Пусть f(x) ⊂F, x⋲[a,b]. Выберем систему линейнонезависимых функций ,,…, и составим линейную комбинацию 
(х)=++…+.,…, выберем из условия:

  ()=f(), i=1,…,n.           (1)

Решив систему  1 относительно находим  (х), которая интерполирует f(x) по известным значениям f(). Точки называются узлами интерполирования. Чтобы 1 имела единственное решение её определитель не должен равняться 0, т.е:

≠0        (2)

Система функций  i=1,…,n, для которой выполняется условие 2 при любых различных ⋲[a,b] называется системой Чебышева.

Второе условие связано  с выбором  , вытекает из требования полноты семейства (х) в классе F, к которому принадлежит f(x)⋲F, т.е. для f(x)⋲F и ε>0  n и такие коэффиценты ,…,, что для x⋲[a,b] выполняется |f(x)-|<ε.

Отметим, что условие полноты  не гарантирует сколь угодно точное интерполирование f(x). Это связано с тем, что (х) зависит от выбора узлов и условий 1.

§2 Алгебраическое интерполирование

Интерполирование функции  f(x) с помощью алгебраического многочлена называется алгебраическим интерполированием. Положим в качестве =, i=1,…,n. Линейная комбинация (х) будет многочленом степени (n-1) и иметь вид:

(x)=(х)=++…+.,…,.  В этом случае определитель в формуле 2 является определителем Вандермонда и он не равен 0, если i.Свойство полноты семейства алгебраических многочленов в классе непрерывных функций следует из теоремы Вейерштрассе: если f(x)⋲C[a,b], то для ε>0 (x) такой, что для x⋲[a,b] выполняется: |f(x)-(x)|<ε.

§3 Интерполяционный многочлен Лагранжа

Построим многочлен степени n такой, что (x) принимает в ()=f(, i=0,…,n.

(x)=(х)=++…+. Основная идея построения состоит в том, чтобы найти многочлен, который принимает значение 1 в одной изолированной точке и равен 0 во всех остальных. Очевидно, что исходным многочленом степени n является следующий:

(x)=.           (4)

()== .          (5)

И тогда (x) можно представить как: (x) = .  Это многочлен, который проходит через n+1 точку с координатами (),

Введем многочлен n+1 степени

 ω=.           (6)

Тогда

 (x)=.           (7)

В этом случае

(x)=.         (8)

 

§4 Оценка остаточного  члена интерполяционного многочлена Лагранжа

Очевидно, что разность между  f(x) интерполяционным многочленом(x) обращается в 0 во всех узловых точках x=, i=0,…,n, поэтому

f(x)-(x)=ω(x)K(x), где ω=(х-)…(x-.       (9)

Для произвольной точки  имеем 

f()-()=ω()K()          (10)

Рассмотрим фунцкию

Ф(х)=f(x) -(x)- ω(x)K()         (11)

Если f(x) имеет (n+1) производную, то Ф(х) можно дифференцировать (n+1) раз. Т.к. (x)  — многочлен стпени n, K() —некоторая константа, то

 K()       (12)

Всего (n+2) узла, в которых функция обращается в 0. Таким образом производная обращается в 0 по крайней мере (n+1) раз в интервале, который содержит . Узлы неупорядочены. Продолжая такие рассуждения получаем: (n+1) производная обращается в 0 на указанном интервале по крайней мере 1 раз. Таким образом в интервале значений х ⁆ , что

=(n+1)!K(.            (13)

Отсюда можно  найти неизвестное значение K(. Так как — произвольное значение, то 10 можно представить в виде

f(x)-(x)=ω(x)          (14)

Замечание: погрешность многочленов аппроксимации  не обязательно убывает с ростом числа узлов n.

f(x)=         (15)

Если функция  f имеет особенность в конечной части комплексной плоскости (tg(x),ln(x)), то ряд Тейлора должен иметь конечный радиус сходимости R. Это означает, что для бесконечного числа значений  n

|ε>0  или |||. Таким образом верхняя грань для производной n-ного порядка равна n!

§5 Разделенные разности и их свойства

Разделенные разности используются для записи интерполяционного многочлена в форме Ньютона.

Разделенная разность 0 порядка: f().

Разделенная разность 1 порядка: f(

Разделенная разность 2 порядка: f(

Разделенная разность k порядка: f(       (19)

Лемма: разделенные разности можно представить в виде суммы: f(= (20)

Доказательство: по индукции

n=1 : f()= f()

n=2 : f(=+

Пусть k=n:

f(

f(

Докажем, что 20 имеет место  при n=k+1:

f(==+=. Конец доказательства.

Пояснение:

- = =()-)=