Предел и непрерывность функции. Частные производные

ПРЕДЕЛ  И НЕПРЕРЫВНОСТЬ  ФУНКЦИИ

         

1. Вводные понятия. Пусть дано множество  , и пусть указано правило, по которому каждой точке   соответствует некоторое число  . В этом случае говорят, что задана функция   с областью определения   и областью значений  . При этом   и   называют независимыми переменными (аргументами), а   – зависимой переменной (функцией).                   

2. Предел функции.         

Определение. Будем говорить, что последовательность точек   сходится при   к точке  , если   при  .         

В этом случае точку   называют пределом указанной последовательности и пишут:   при  .         

Легко показать, что   тогда и только тогда, когда одновременно  ,   (т.е. сходимость последовательности точек пространства   эквивалентна покоординатной сходимости).         

Пусть   и   – предельная точка множества  .         

Определение. Число   называют пределом функции   при  , если для     такое, что  , как только  . В этом случае пишут

     или       при  .         

Определение. Число   называют пределом функции   при   и  , если для     такое, что из неравенств   и   следует неравенство  . Этот факт коротко записывают так:

.

         

Справедливы аналоги теорем о свойствах пределов функций одной переменной.         

3. Непрерывность функции. Пусть дана функция   с областью определения   и пусть   – предельная точка множества  .         

Определение. Говорят, что функция   непрерывна в точке  , если:

1)      ;

2)      , т.е.  .

      Определение. Говорят, что функция   непрерывна в точке  , если выполняется равенство

.  
 

Функция двух переменных обычно записывается как  , при этом переменные  ,   называются независимыми переменными или аргументами.

Полезно знать  геометрический смысл функций. Функции  одной переменной   соответствует определенная линия на плоскости, например,    – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных   с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.).

Частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной. 

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас.

Пример 1

Найти частные  производные первого и второго  порядка функции 

Сначала найдем частные производные первого  порядка. Их две. Обозначения: 

 или   – частная производная по «икс»    

 или   – частная производная по «игрек»

Начнем с  . Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная   считается константой (постоянным числом).

Комментарии к  выполненным действиям:

(1) Первое, что мы делаем при нахождении  частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.

Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения.

(2) Используем  правила дифференцирования  ,  . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как   считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, то   мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации  ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое  : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как   константа, то   – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».

(3) Используем  табличные производные   и  .

(4) Упрощаем, или,  как я люблю говорить, «причесываем»  ответ.

Теперь  . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная   считается константой (постоянным числом).

(1) Используем  те же правила дифференцирования  ,  . В первом слагаемом выносим константу   за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку   – уже константа.

(2) Используем  таблицу производным элементарных  функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица равно справедлива и для  (да и вообще почти для любой буквы). В частности, используемые нами формулы выглядят так:   и  .

Итак, частные  производные первого порядка  найдены.

Подведем итог, чем же отличается нахождение частных  производных от нахождения «обычных»  производных функции одной переменной:

1) Когда мы находим частную производную  , переменная   считается константой.

2) Когда мы находим частную производную  , переменная   считается константой.

3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( ,   либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.

Шаг второй. Находим  частные производные второго  порядка. Их четыре.

Обозначения: 
 или   – вторая производная по «икс» 
 или   – вторая производная по «игрек» 
 или   – смешанная производная «икс по игрек» 
 или   – смешанная производная «игрек по икс»

В понятии второй производной нет ничего сложного. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.

Для наглядности  я перепишу уже найденные частные  производные первого порядка: 
 

Сначала найдем смешанные производные: 

Как видите, всё  просто: берем частную производную   и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек».

Аналогично: 

Для любой функции двух переменных справедливо следующее равенство:  

Таким образом, через смешанные производные  второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли  частные производные первого  порядка.

Находим вторую производную по «икс». 
Никаких изобретений, берем   и дифференцируем её по «икс» еще раз: 

Аналогично: