Предел фунции

Предел  функции

 

• Предел числовой последовательности
• Число е

Предел  числовой последовательности

 

Бесконечной числовой последовательностью (или 

просто  числовой последовательностью) называется

функция.                     У числовой последовательности

переменная n, возрастая, принимает только целые

значения, а у функции переменная х может

принимать любые значения.

 

Ниже приведены  примеры последовательностей,

причем сначала  приведена форма записи    аn     , а

затем записаны первые члены:

• Число А называется пределом функции 
• у=f(x), при х стремящемся к бесконечности,
• если для любого, сколь угодно малого числа
• ε>0, найдется такое положительное число
• S, что при всех |x|>S, выполняется
• неравенство:

 

Пример:

 

Доказать  что:

 

 

                                Решение:

Для любого ε>0  

 

Т.е. для любого ε >0 существует число

 

Такое, что  для всех х, таких что |x|>S, выполняется

неравенство:

 

Рассмотренное определение предела при  x

стремящемся к бесконечности предполагает

неограниченное  возрастание x по абсолютной

величине.

Можно сформулировать понятие предела при 

стремлении  x к бесконечности любого знака, т.е. при 

 

 

 

 

Пример:

 

 Доказать что: 

                      Решение:

Пусть ε=0.1

Тогда неравенство

будет выполняться при

Аналогично, при  ε=0.01

Неравенство будет выполняться  при

 

 

 

Определение предела не требует существования 

функции в самой точке x₀, т.к. рассматриваются

значения  функции в некоторой окрестности точки 

x₀. Т.е. рассматривая предел

 

мы предполагаем, что

 

но не достигает значения x₀.

 

 

 

 

Если  при

 

переменная  x принимает значения только  меньше x₀

или, наоборот, больше x₀, и при этом функция f(x)

стремится к некоторому числу А, то говорят об

односторонних пределах соответственно  справа и

слева:

 

 

Если пределы  функции f(x) слева и справа

одинаковы и равны А, то существует общий предел

этой  функции, также равный А:

 

Число е

 

Вычислить предел:

 

Решение:

Вычислить предел:

 

 Решение: Учитывая, что предел произведения

нескольких  функций равен произведению пределов

от этих функций, получаем

Вычислить предел:

 

Решение: Сделаем замену:           так что x = 6y и y →

∞, если x → ∞. В результате получаем

e — математическая константа, основание

натурального  логарифма, трансцендентное число.

Иногда  число e называют числом Эйлера или числом

Непера. Обозначается строчной латинской буквой

«e».

Максимум функции достигается  при .

Число e играет важную роль в дифференциальном и

интегральном исчислении, а также во многих

других разделах математики.