Построение «золотого сечения»

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение…………………………………………………………………..……..... 3

Глава Ӏ.   История «золотого сечения»………………………………………….. 4

1. Древние века…………………………………………….…….. 4
2. Эпоха Возрождения……………………………………….….. 5

Глава Ӏ Ӏ.  Построение «золотого сечения»…………………………………..…. 7

1. «Золотое сечение» - гармоническая пропорция…………..… 7
2. Второе «золотое сечение»………………………………….…8

Заключение………………………………………………………………….…….9

Список используемой литературы………………………………………………10

                    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

                                                                   «Геометрия обладает двумя великими

                                                                   сокровищами. Первое - это теорема

                                                                   Пифагора, второе - деления отрезка           

                                                                   в крайнем и среднем отношении».

                                                                                                           Иоганн Кеплер  

      Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и «золотого сечения», способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип «золотого сечения» – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.   

      Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. 

     Данное открытие у художников  того времени получило название «золотое сечение» картины.  Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров. 
 
 
 

ИСТОРИЯ «ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ». 

       1.1. Древние века. 

       Принято считать, что понятие о «золотом сечении» ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание «золотого сечения» позаимствовал у жителей Египта и Вавилона. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями «золотого сечения» при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам «золотого сечения». Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции «золотого сечения».

         Греки же были искусными  геометрами. Даже арифметике обучали  своих детей при помощи геометрических  фигур. Квадрат Пифагора и диагональ  этого квадрата были основанием    для     построения   динамических

            Динамические прямоугольники           прямоугольников. 

       Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о «золотом сечении». Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам «золотого сечения».

        Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение  высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции рассматриваемого сечения.

       В античной литературе «золотое сечение» впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается его геометрическое построение. После Евклида исследованием им занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.. В средневековой Европе с «золотым сечением» познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Секреты «золотого сечения» ревностно оберегались и хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

       1.2. Эпоха Возрождения 

         В эпоху Возрождения усиливается  интерес к «золотому сечению» среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре.  Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею.

       Лука  Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает  в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

         Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению «золотого сечения». Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название «золотое сечение». Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

         В то же время на севере  Европы, в Германии, над теми же  проблемами трудился Альбрехт  Дюрер. Судя по одному из  писем Дюрера, он встречался с  Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил «золотому сечению». Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

         Построение ряда отрезков золотой  пропорции можно производить  как в сторону увеличения (возрастающий  ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

         Если на прямой произвольной  длины, отложить отрезок m(φ), рядом  откладываем отрезок M. На основании  этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов:

         

                                                   Построение шкалы отрезков золотой пропорции 

       В последующие века правило золотой  пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы знаменитое «золотое сечение» было забыто...

       Вновь «открыто золотое сечение» было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь «золотого сечения» профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию «золотого сечения», объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой». 

ПОСТРОЕНИЕ  «ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ» 

2.1. «Золотое сечение» - гармоническая пропорция. 

      В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

      Отрезок прямой АВ можно разделить на две  части следующими способами:

1. На две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
2. На две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
3. Таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

      Последнее и есть золотое деление или  деление отрезка в крайнем  и среднем отношении.

       «Золотое сечение» – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть          относится      к      меньшей .

    Геометрическое изображение пропорции       Практическое знакомство с «золотым сечением»

           a : b = b : c   или с : b = b : а.         начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки. Здесь приводится построение точки Е,

 делящий отрезок прямой в пропорции «золотое сечение». Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На

полученной  линии откладывается отрезок 

        ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок

Деление отрезка прямой по «золотому            AD переносится на прямую      АВ.

сечению». BC = 1/2 AB; CD = BC                   Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Именно эти отрезки использовал Евклид при построении правильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делится другими именно в такой пропорции.

      Таким образом, звездчатый пятиугольник также  обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

        Звездчатый пятиугольник называется  пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

      В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное  понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

2. Второе «золотое сечение».

 

       Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре.

      Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол    АСD   делится  пополам.   Из точки  С

   Построение второго золотого         проводится линия до  пересечения  с  линией  AD.

                                                        Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

       На рисунке показано положение  линии второго «золотого сечения». Она находится посередине между линией «золотого сечения» и средней линией прямоугольника. Таким образом было доказано, что разделить отрезок в крайнем и      среднем      отношении      можно       не  единственным способом.