Полные решетки

Этим, как легко видеть, показано, что трансфинит α обладает свойством Так как, в силу теоремы 1, множество L удовлетворяет условию индуктивности, то свойством обладают все трансфиниты из L. Другими словами, цепи С_α существуют для всех α L. Положим

Q= U С_α.

Ясно, что Q —цепь. Если она не максимальная, то для некоторого ξ L\Q множество QU{ξ} также является цепью. Однако ξ С, и, следовательно, ξ является некоторым трансфинитом из L, причем ξ C_ξ. Из условия б) вытекает, что ξ не сравним с некоторым элементом из Q. Это, однако, противоречит тому, что QU{ξ} —цепь.

Пусть теперь частично упорядоченное  множество Р удовлетворяет посылкам теоремы2. Одноэлементное множество {а}, где а Р, является цепью, которую, в силу леммы, можно вложить в максимальную цепь С. По условию, существует элемент с С^∆. Если с не является максимальным элементом частично упорядоченного множества Р, то с<x для некоторого х Р. Конечно, х С^∆\С, и, следовательно, С U{x} — цепь, что противоречит максимальности цепи С.

 

Теорема 3 (аксиома  выбора). Для всякого непустого множества  существует такое отображение φ множества всех подмножеств множества в множество , что φ(A) A для всех непустых А .

 

Доказательство. Если — некоторое непустое множество, то по аксиоме о полном упорядочении его можно считать вполне упорядоченным. Нетрудно заметить, что отображение φ, ставящее в соответствие каждому непустому подмножеству А его первый элемент удовлетворяет требованиям теоремы.

Теорема 4. Всякая цепь содержит конфиналъное вполпе упорядоченное подмножество.

Доказательство. Пусть — множество всех вполне упорядоченных подмножеств данной цепи С. Оно не пусто, так как содержит все одноэлементные подмножества. Если А, В , то положим

Легко проверяется, что отношение    является порядком. Если

 - цепь  из  ,  то  рассмотрим   объединение   A= A_α .

 Для всякой цепи

a₁ ≥ a₂ ≥ …

элементов из А, имеем, a_i A_α Для такого индекса α, что a₁ A_α. В силу теоремы 1 эта цепь обрывается, и вторичное применение теоремы1 даёт, что А  . Ясно,что A_α A,для всех α. Если , то  , где , т.е. .

 Так что, . Таким образом, . Поэтому из леммы Куратовского — Цорна вытекает существование максимального элемента . Убедимся, что С является искомым конфинальным подмножеством. Действительно, если x C , поставив элемент х вслед за всеми элементами множества ,  получим вполне упорядоченное множество . При этом , что противоречит максимальности элемента . Следовательно, , а значит, , для некоторого .

Прямым  произведением множеств называется множество всех функций а, ставящих в соответствие каждому множеству элемент . .

Существование таких функций  вытекает из применения аксиомы выбора к объединению   .

Таким образом, справедлива

Теорема 5. Прямое произведение любой системы непустых множеств не пусто.

Рассмотрим теперь прямое произведение семейства частично упорядоченных множеств. Множество L также будем считать частично упорядоченным. Элементы множества будем изображать в виде строк (a_α). Зададим на отношение , положив

Теорема 6. Если частично упорядоченное множество L удовлетворяет условию минимальности, то отношение на , задаваемое условием

a

b = (a=b или a b)

                                                                           def

является порядком.

Доказательство. Рефлексивность отношения очевидна. Непосредственно из соответствующих определений вытекает

Лемма. Если (a_ξ) (b_ξ) и µ — минимальный элемент множества L, то aµ bµ.

Если, далее, (a_α) (b_α) и (b_α) (a_α),то ввиду леммы имеем (a_α)=(b_α) , для  всякого   минимального   элемента множества  L. Допустим, что равенство а_β=b_β справедливо для всех β < α. Если , то справедливо или .   Учитывая неравенства (a_ξ) (b_ξ) ,(b_ξ) (a_ξ) приходим к неравенствам или наоборот для некоторого β < α. Противоречие. Следовательно, а_α = b_α , откуда ввиду теоремы 1 следует, что a_ξ =b_ξ , для всех ξ L. Таким образом, oтношение оказывается антисимметричным.

Допустим, наконец, что (a_ξ) (b_ξ) и(b_ξ) (c_ξ). Если имеем a_ξ =b_ξ  или(b_ξ)=(c_ξ), то сразу ясно, что (a_ξ) (c_ξ). Если же и , но , то найдется такой индекс α L, что и , для всех β<α. Положим α₁ = α  и допустим, что выбраны индексы

α₁ > α₂>…> α_n

так, что для каждого α_i (i=1,..., п) имеет место или . Если, например, , то для некоторого должно быть . В силу выбора α, имеем , что позволяет положить - .

Таким образом,   возникает  бесконечная  последовательность

α₁ > α₂>…

элементов из L, что противоречит теореме 1. Тем самым доказано, что , т. е. установлена транзитивность отношения .    

Прямое произведение снабженное порядком, описанным в теореме 6, называется упорядоченным произведением частично упорядоченных множеств . Упорядоченное произведение в случае, когда L — вполне упорядоченное   множество,   называется  лексикографическим.

Теорема 7 (теорема  о сравнении). Для двух вполне упорядоченных множеств Р и P’ существует одна и только одна из следующих возможностей:

(I) Р изоморфно P’;

(2) Р  изоморфно начальному отрезку множества Р',

(3) Р’ изоморфно   начальному отрезку множества Р.

Доказательство. Рассмотрим вполне упорядоченное множество , полученное добавлением к Р некоторого нового элемента , стоящего после всех элементов из Р. Аналогичным добавлением элемента к множеству P’ получим вполне упорядоченное множество . Ясно, что    Р = [0, ) и Р’ = [0, ').

Лемма 1. Если θ — изоморфизм вполне упорядоченного множества в себя, то , для всех x .

Действительно, положим  .Если лемма неверна, то множество S не пусто. Если а — наименьший элемент множества S, то и, следовательно, . Отсюда

т.е. , что ввиду  противоречит взаимной однозначности отображения θ.

Лемма 2. Вполне упорядоченное множество не может быть изоморфно своему начальному отрезку.

В самом деле, если θ - изоморфизм вполне упорядоченного множества на его начальный отрезок [0, а), то   вопреки лемме 1.

Лемма 3. Пусть - вполне упорядоченное множество, - изоморфизм вполне упорядоченного множества на его начальный отрезок [0,b’) вполне упорядоченного множества .

Если ψ —изоморфизм начального отрезка [0, а) на начальный отрезок [0, а') множества , то и ψ(x)=φ(x) для всех x [0,a).

В самом деле, если  , то последовательное применение отображений и φ осуществляет   изоморфизм вполне упорядоченного множества [0, а') на свой начальный отрезок, что невозможно, в силу леммы  2.

Если же для   некоторого x < a, то обозначим через b - наименьший элемент с этим свойством. Тогда , где b < c. Последовательное применение отображений φ и  приводит к изоморфизму отрезка [0, с) на отрезок [0, b), что противоречит лемме 2.

Приступая к доказательству теоремы, рассмотрим множество S всех таких трансфинитов  множества , чтo отрезок [0, ) не допускает изоморфизма ни на какой начальный отрезок множества . Если , то имеет место случай (1) или (2). Если это не так, то множеств S содержит наименьший элемент α. Ясно, что α≠0. Если (α — 1) существует, то существует изоморфизм φ отрезка [0, α — 1) на отрезок [0,β’) множества . Если , то имеет место случай (3). Если это не так, то существует трансфинит β’+ 1. Поэтому, положив

получим изоморфизм отрезка [0, α) на отрезок [0,β’ + 1), что противоречит выбору α.  Обратимся теперь к случаю, когда α — предельный трансфинит. Тогда, согласно теореме 2, (*)

По выбору α, для каждого  β существует изоморфизм отрезка [0,β) на [0,β’) множества . Если какое-либо β’ равно то имеет место случай (3). Если это не гак, то существует элемент а' наименьший среди превосходящих все β’.

Если  , то согласно (*),  , для некоторого .

Положим, . Если , то имеем, например .

Из леммы 3 вытекает, что и что . Следовательно, φ является однозначным отображением отрезка [0, а) на отрезок [0, а').

Без труда проверяется, что  φ  — взаимно однозначное и изотонное отображение. Если  , то . Для некоторого и, следовательно, для некоторого имеем:

Таким образом, φ оказывается  изоморфизмом отрезка |0, α) на отрезок [0, α'), что противоречит выбору α. Этим доказано, что по крайней мере один из случаев (1)—(3) имеет место. Из леммы 2 легко вывести, что случай (1) не совместим ни со случаем (2), ни со случаем (3). Если же одновременно имеют место случаи (2) и (3), то последовательное выполнение указанных там изоморфизмов позволяет  получить изоморфизм множества Р на его начальный отрезок, что  опять противоречит лемме 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 3. Полные структуры.

Частично упорядоченное множество называется полной структурой (полной решеткой), если всякое его непустое подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грань. Полными структурами являются отрезок |0,1] с обычным порядком, множество всех подмножеств некоторого множества, упорядоченное по включению, цепкая конечная цепь. Ясно, что любая полная структура должна иметь нуль и единицу. Поэтому, например, множество всех целых чисел с обычной упорядоченностью полной структурой не является.

 

Теорема 1. Если частично упорядоченное множество Р имеет единицу и всякое его непустое подмножество имеет точную нижнюю грань, то Р — полная структура.

Доказательство. Пусть А — непустое подмножество множества Р. Множество А^∆ содержит единицу. Поэтому, в силу условия, существует inf А^∆. Применяя теорему 1.7, убеждаемся в существовании sup А^∆, что и требовалось доказать.

Из теоремы 1 вытекает, что  полными структурами является множество  всех подгрупп данной группы, множество  всех замкнутых подмножеств топологического  пространства, всякое вполне упорядоченное  множество с наибольшим элементом  и др.

 

Предложение 1. Если всякое подмножество частично упорядоченного множества, Р имеет точную нижнюю грань, то Р—полная структура.

Доказательство. Пусть А—подмножество в Р. Если , то, по определению, , где существует по условию. Допустим, что . По условию, существует . Если , то Вспоминая, что а —наибольший элемент множества получаем, что х≤ а для всех , т. е. .Если , то, очевидно, а≤.х. Следовательно,а- наименьший элемент множества , т. е. а = sup A.

Из предложения 1 вытекает, что полными структурами являются множество всех подгрупп данной группы, множество всех замкнутых подмножеств топологического пространства, всякое вполне упорядоченное множество с наибольшим элементом и др.

Теорема 2 (теорема  о неподвижной точке). Если φ – изотонное отображение полной структуры Р в себя,то φ(а) = а для некоторого        а Р.

Доказательство. Пусть S — множество всех таких элементов s из Р, что s ≤ φ(s). Ясно, что нуль, существующий в силу полноты структуры Р, принадлежит  S, т. е. S не пусто. Следовательно, существует а = supS. При этом для всякого s S имеем , откуда φ(a)≥a. Поэтому , что влечет φ(a) S. И значит,  а ≥φ(а).  Таким образом , т. е.  φ(а) = а.                                                           

Теорема 2 не допускает обращения: трехэлементное частично упорядоченное  множество, изображенное на рис. 2, не является полной структурой, хотя все его  изотонные отображения в себя, очевидно, имеют неподвижную точку. Тем не менее имеет место

Теорема   3 (Когаловский).   Если каждое   изотонное отображение частично упорядоченного множества Р в себя имеет неподвижную   точку, то всякая максимальная цепь из Р является полной структурой.

Доказательство. Пусть частично упорядоченное множество Р удовлетворяет условию теоремы. Тогда справедлива

Лемма. Если   С — цепь   из P, то и не пусты.

Действительно, цепь С содержит конфинальное вполне   упорядоченное  подмножество   W. Пусть x P. Если , то для всякого всякого   с С   и  подходящего w W имеем : .

Т. е. х . В противном случае для каждого х Р множество оказывается непустым.Обозначим через φ(x) -  наименьший элемент этого множества.Если x, y P и , то , поэтому

и, следовательно, . Значит, φ — изотонное отображение. Так как , а для всех х Р, то φ, вопреки условию, не имеет неподвижной точки. Справедливость второго утверждения устанавливается рассмотрением частично упорядоченного множества, дуально изоморфного множеству Р.

Переходя к доказательству теоремы, рассмотрим максимальную цепь С. В силу леммы она содержит наибольший и наименьший элементы, ибо из максимальности легко вывести, что . Если С не является полной структурой, то, согласно теореме 1, она содержит такое пустое подмножество V, что inf_c V не существует. Пусть U = . Ясно, что наименьший элемент цепи С принадлежит U, т. е. цепь U не пуста. Через V* обозначим цепь, двойственную цепи V. Элемент v V, рассматриваемый как элемент цепи V*, будем обозначать через v*. Аналогичный смысл придадим символу x** для элемента v* V*. Согласно теореме, цепи U и F* содержат конфинальные вполне упорядоченные подмножества S и T*, соответственно.

Предложение 2. Если — изоморфизм частично, упорядоченных множеств, являющихся полными структурами, то для любого имеет место

Доказательство. Пусть a = sup_LA и а'= = sup_L φ(A).Тогда а≥х для всех х А. Поэтому φ(a)≥φ(x) для всех х А, откуда а'≤φ(а). С другой стороны,φ^-1(а')≥х для всех х А. Отсюда φ^-1(а')≥а, а значит, а'≥φ(а). Таким образом, a' = φ(а). Второе утверждение доказывается двойственным рассуждением.

 

Изотонное отображение φ  частично упорядоченного множества Р в себя называется оператором замыкания, если и для всех х Р. Примеры операторов замыкания весьма многочисленны. Так, в полной структуре подпространств топологического пространства оператором замыкания будет отображение, ставящее в соответствие каждому подпространству его замыкание. Если каждому элементу полной структуры , где L — линейное пространство над полем, будем ставить в соответствие его линейную оболочку, то также получим оператор замыкания. В частично упорядоченном множестве Р с единицей 1 оператором замыкания оказывается отображение φ (х) = 1 для всех х Р.