Основные теоремы дифференциального исчисления

     

СРС

Основные  теоремы дифференциального исчисления.                                                        Подготовила: Рысжан К.                                                                         Проверил: Секеев К.

 

 

     1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 

       Основные теоремы  дифференциального  исчисления: Ферма,  Ролля, Коши, Лагранжа 

     Рассмотрим  некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят  названия основных теорем математического  анализа или основных теорем дифференциального  исчисления, поскольку указывают  на взаимосвязь производной функции  в точке и ее поведения в  этой точке. Рассмотрим теорему Ферма.

     Пьер  Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии – юрист. Математикой  занимался в свободное время. Ферма – один из создателей теории чисел. С его именем связаны две  теоремы: великая теорема Ферма (для  любого натурального числа n > 2 уравнение хⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то а ^р-1 – 1 делится на р).

     Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х₀ Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х₀ существует конечная производная f '(x₀), то f '(x₀) = 0.

     Доказательство.

     Пусть, для определенности, в точке х₀ функция имеет локальный минимум, то есть f (х) ³ f (х₀), œх Î U(х₀). Тогда в силу дифференцируемости

     f (х) в точке х₀ получим:

     при х > х₀: 

       

     при х < х₀: 

       

     Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда

     

     Теорема доказана.

     Геометрический  смысл теоремы Ферма: если х₀ Î (а, b) является точкой минимума или максимума функции f (х) и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х₀, f (х₀)), параллельна оси Ох: 

       

       
 
 
 
 
 

     Заметим, что оба условия теоремы Ферма  – интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны. 

     Пример 1. у = çх÷, х Î (–1; 1).

     В точке х₀ = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х₀).

       

     Пример 2. у = х³, х Î [–1; 1].

     В точке х₀ = 1 функция имеет краевой максимум. Теорема Ферма не выполняется, так как точка х₀ = 1 Ï (–1; 1). 

     Мишель  Ролль (1652–1719) – французский математик, член Парижской академии наук. Разработал метод отделения действительных корней алгебраических уравнений.

     Теорема Ролля. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f (а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x, а < x < b, такая, что f '(x) = 0.

     Доказательство:

     1) если f (x) = const на [a, b], то f '(х) = 0, œх Î (a, b);

     2) если f (x) ¹ const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка

     [a, b]. Следовательно, max f (x) или min f (x) обязательно достигается во внутренней точке x отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f '(x) = 0.

     Теорема доказана.

     Геометрический  смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику f (x) в точке (x, f (x)) ïï Ox (см. рисунок).

     Заметим, что все условия теоремы существенны.

       

     Пример 3. f (x) = çх÷, х Î [-1; 1]. f (-1) = f (1) = 1.

     В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется – ни в одной точке отрезка [–1; 1] производная в нуль не обращается.

     Пример 4.

     Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала

     (0; 1) производная не равна 0, так  как теорема Ролля не выполняется – функция не является непрерывной на [0; 1].

     Огюстен Коши (1789–1857) – французский математик, член Парижской академии наук, почетный член Петербургской и многих других академий. Труды Коши относятся к  математическому анализу, дифференциальным уравнениям, алгебре, геометрии и  другим математическим наукам.

     Теорема Коши. Пусть функции f (х) и g(х) непрерывны на отрезке

     [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) ¹ 0, œх Î (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что 

      . (1) 

     Доказательство.

     Рассмотрим  вспомогательную функцию  Функция F(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно, по теореме Ролля на (a, b) существует точка x, такая, что F'(x) = 0: 

       

     Следовательно: 

      . 

     Теорема доказана.

     Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик и механик, почетный член Парижской и Петербургской академий. Ему принадлежат выдающиеся исследования по математическому анализу, по различным вопросам дифференциальных уравнений, по алгебре и теории чисел, механике, астрономии. Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные интегралы, предложил обозначения для производной (y', f '(x)).

     Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что 

     

      (2) 

     Доказательство.

     Из  формулы (1) при g(x) = x получаем формулу (2).

     Теорема доказана.

     Равенство (2) называют формулой конечных приращений или формулой Лагранжа о среднем.

     Геометрический  смысл теоремы Лагранжа.

     При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику функции f (x) в точке (x, f (x)) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f (а)) и В (b, f(b)) (см. рисунок).

     Рассмотрим  следствия из теоремы Лагранжа:

     1. (условие постоянства функции  на отрезке). Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f '(x) = 0, œх Î (a, b), то функция f (x) постоянна на [a, b].

       

     2. Пусть функции f (x) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), f '(x) = g'(х), œх Î (a, b). Тогда f (x) = g(х) + С, где С = const.

     3. (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f '(x) > 0, œх Î (a, b), то f (x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f '(x) < 0,

     œх Î (a, b), то f (x) строго монотонно убывает на (a, b). 

Пример 1. у = х, х (-1; 1).

В точке х₀ = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х₀).

Пример 2. у = х³, х [-1; 1].

В точке х₀ = 1 функция имеет краевой максимум. Теорема Ферма не выполняется, так как точка х₀ = 1 (-1; 1).

Пример 3. f (x) = х, х [-1; 1]. f (-1) = f (1) = 1.

В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется - ни в одной точке отрезка [-1; 1] производная в нуль не обращается.

Пример 4.

Для данной функции  f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала

(0; 1) производная  не равна 0, так как теорема  Ролля не выполняется - функция не является непрерывной на [0; 1].

Огюстен Коши (1789-1857) - французский математик, член Парижской  академии наук, почетный член Петербургской  и многих других академий. Труды  Коши относятся к математическому  анализу, дифференциальным уравнениям, алгебре, геометрии и другим математическим наукам. 
 

     Список  литературы:

1. Виноградов И.М. (ред.) Математическая энциклопедия. Том 2. М.: Советская энциклопедия, 1977 г.
2. Иванова Е.Е. Дифференциальное исчисление функций одного переменного

3. Бугров  Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том 2.  Дифференциальное и интегральное исчисление

4. http://www.twirpx.com