Основные проблемы факторного анализа

Основные  проблемы факторного анализа

При использовании  факторного анализа исследователь  сталкивается со значительным числом проблем. Наиболее часто они возникают  в процессе содержательной (экономической) интерпретации. Мhoiне из них носят частный характер, присущий определенному классу задач, например, наличие слабо обусловленных матриц парных коэффициентов корреляций, присущее классу экономико-статистических задач. Однако это не относится непосредственно к факторному анализу.

Исходя из логической последовательности решения задач факторного анализа, первой следует считать проблему робастности (гл.9), второй общности, третьей - факторов, четвертой - вращения, пятой - оценки значений факторов, шестой - проблему динамических моделей.

Введем следующие  пояснения к общей схеме факторного анализа, представленной на рис. 6.1.

На рис.6.1 представлена матрица исходных признаков X размерности nxN, где число признаков равно n, а количество исследуемых объектов - N.

Элементы матрицы  х(y) представляют собой значения j-x признаков на 1-м объекте исследования. Каждый признак имеет свое наименование. Например, xi - производительность труда (выработка в год на одного производственного рабочего), х2- фондоотдача и т.д.

В классическом факторном анализе следующей  матрицей является матрица нормированных значений исходных данных, которая получалась путем нормирования элементов X. Однако современные исследования и опыт решения практических задач показали, что отсутствие учета возможного засорения исходных признаков грубыми ошибками при много-мерном анализе может привести к ошибкам интерпретации. В настоящее время эти две матрицы объединяет первая проблема - робастности. Технически на ЭВМ эта задача решается методом устойчивой (робастной) оценки среднего значения (х) и оценки среднего квадратического отклонения (s) (гл. 9).

При этом используется тест на засорение. Если засорение отсутствует, то x и s определяются так же, как и в классическом случае. Если же засорение обнаружено, то вводится тест на симметричность распределения. 

Для симметричных засоренных распределений применяются  методы робастного оценивания х и s. Для асимметричных распределений данный подход не пригоден. Для случая асимметричного распределения было разработано математическое обеспечение для джекнайф-оценки, учитывающей наличие асимметрии.

Y матрица нормированных значений исходных признаков. Размерность ее (nxN), как и у матрицы X, но исходные данные представлены как безразмерные величины.

R - матрица парных коэффициентов корреляции. Она является симметрической матрицей порядка n. На ее главной диагонали стоят единицы, соответствующие дисперсиям исходных нормированных показателей. Данная матрица R является исходной для проведения компонентного анализа. Для факторного анализа необходимо получить редуцированную матрицу R_h.

R_h редуцированная корреляционная матрица, служащая основной для факторного анализа. Она также является симметрической порядка n, но на ее главной диагонали стоят вместо единиц общности (hj). Итак, второй проблемой является определение общности hj

Далее по стандартным  программам получается матрица А - матрица весовых коэффициентов. Весовые коэффициенты являются характеристиками стохастической связи между исходными признаками и общими факторами.

Между матрицами  R_h и А на схеме указана третья проблема - нахождение факторов, включающая вопросы определения числа извлекаемых общих факторов и их вида. Значения весовых коэффициентов являются координатами признаков на новых осях координат. Общие факторы и являются координатными осями.

В настоящее  время чаще всего используется метод главных факторов, а также метод максимума правдоподобия. Иногда метод максимума правдоподобия служит для уточнения данных, полученных центроидным методом. (Задача снижения размерности достаточно часто решается также методом главных компонент.) Считается, что 90% задач факторного анализа решается при помощи метода главных факторов.

Общие факторы  занимают произвольное положение относительно признаков, образующих конфигурацию векторов. Таким образом, весьма большое число  матриц А может воспроизвести матрицу R_h.

Четвертой проблемой является вращение, включающее вопросы выбора одной матрицы А^' из возможного множества. Что же является критерием для выбора этой матрицы? Подходов для решения этой задачи было выдвинуто много. Однако наиболее современным является подход, построенный на принципе простой структуры Тэрстоуна. В этом подходе