Определенный интеграл

Академически лицей при ТУИТ

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема: Определенный интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: Васильев Д.С.

Руководитель: Исаков Р.А.

Консультант: Пулатова С.М.

 

 

Ташкент 2010

 

Содержание:

Задача  о вычислении площади плоской  фигуры   …………………..……. 3

Определенный  интеграл    …………………………………………………….………4

Свойства  определенного интеграла      ………………………………………..5

Примеры …………………………………………………………………………………….…6

Вычисление  объема тела вращения    …………………………………………..9

Использованная  литература  ……………………………………………………….11

 

 

 

Задача  о вычислении площади плоской фигуры

 

 Решим задачу о  вычислении площади фигуры, ограниченной  графиком функции

                    , отрезками прямых               ,               и осью         .

 Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

 

 

 

 

 

Пусть            — непрерывная и не отрицательная  функция на отрезке            . Тогда площадь     соответствующей  криволинейной трапеции можно приближенно  подсчитать следующим образом. Разобьем отрезок              на      отрезков одинаковой длины с помощью точек                                                       ,  где                                                               

 

И пусть                                                 .                        . На каждом из отрезков                

как на основании построим прямоугольник с высотой                 . Площадь этого

прямоугольника будет  равна                                                             , а сумма площадей

всех этих прямоугольников  будет равна                                                           .

 

 

 

 

 

 

 

 

Определенный  интеграл

Т.к. функция            непрерывна, то объединение всех прямоугольников при

достаточно большом      представляет собой фигуру, «почти совпадающую»

с данной криволинейной трапецией.

Для любой непрерывной функции            на отрезке             (необязательно 

неотрицательной) выражение вида        при                 всегда стремится к

некоторому  числу. Это число  по определению называется определенным

интегралом от функции            на отрезке            и обозначается                    .

Числа      и      называются соответственно нижним и верхним пределами

интегрирования. Знак        называют знаком определенного интеграла,

функция            называется подынтегральной функцией, а     — переменной

интегрирования.

 

Исходя из определения  определенного интеграла, получим  формулу для 

вычисления площади криволинейной  трапеции.

 

           —  первообразная для            на промежутке            .

Эта формула называется  формулой Ньютона-Лейбница. Она справедлива

для любой непрерывной (необязательно  неотрицательной)  функции

на отрезке            .

Для удобства записи разность                            принято сокращенно обозначать

в виде                , т.е.                                                 .  

 

 

Свойства  определенного интеграла

1. ; 

2. ;

3. ;

4. ;

5. ; 

6.

7. , если

Примеры

1.  Вычислить 

 

 

 

 

2. Следующий пример решим  с помощью метода замены переменных:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Этот пример решим  с помощью метода интегрирования  по частям:

 

 

 

 

 

 

4. Вычислить  площадь фигуры, ограниченной линиями                       и               

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   Получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти площадь эллипса                                     .

Параметрические уравнения  эллипса 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление  объема тела вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой                      , отрезком оси абсцисс  и прямыми                              ,

вычисляется по формуле                                                                    .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Использованная  литература:

1. Сайдаматов Э.М. и др. Алгебра и основы математического анализа для академических лицеев II.

2. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы.

3. Уваренков И.М., Малер М.З. Курс математического анализа II .

4. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

5. Ресурсы интернета, в частности http://ru.wikipedia.org/