Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл. Необходимое условие интегрируемости

 

f(х) < < f(х+ Δх).

 

Если теперь ввести условие  Δх → 0, то в силу непрерывности функции 

 

у= f(х)

 

Таким образом, отношение  заключено между двумя переменными, имеющими общий предел при Δх → 0. Но из этого следует,

 

что ,

 

т.е. Φ'(х) = f(х).

Этим доказано, что  функция Φ(х), выражающая площадь  криволинейной трапеции, является первообразной для f(х).

Выражение этой функции  возможно в двоякой форме.

Исходя из того, что  рассмотренная ранее задача о площади криволинейной трапеции (с фиксированными границами) получает свое разрешение с помощью определенного интеграла, можно записать

 

пл. aABb =

 

Вместе с тем эта  же площадь может быть выражена как  частное значение функции Φ(х) при x = b, и тогда

 

Φ(b) = (1)

 

Аналогично площадь  криволинейной трапеции (рис. 2) с  переменной правой границей х выражается в виде

 

Φ(х) = (2)

 

Этот интеграл оказывается  функцией от верхнего предела.

С другой стороны, если Φ(х), выражающая площадь aAMx, является первообразной для функции f(х), то можно представить ее в виде Φ(х)=F(х)+C, где F(х) – некоторая первообразная для той же функции.

Приравнивая первые части  равенств (1) и (2), получаем

 

= F(х) + C.

 

Для определения постоянной С используем то, что при х = а трапеция превращается в отрезок, и ее площадь оказывается равной нулю, т.е.

 

Φ(а) = F(а) + C = 0,

 

а отсюда С = − F(а) и, следовательно,

 

Φ(х) = = F(х) − F(а).

 

Давая аргументу х  значение фиксированного верхнего предела, т.е. при x = b, мы получаем выражение определенного интеграла через значения первообразной в виде следующей формулы:

 

 

 

Это – формула Ньютона-Лейбница. Она связывает определенный интеграл с неопределенным.

Для вычисления определенного  интеграла эта формула обычно записывается в виде

 

 

где знак служит символическим обозначением разности между значениями первообразной функции F(b) и F(а).

Пример 1.

 

 

 

Пример 2.

 

 

Пример 3.

 

 

Таким образом, формула  Ньютона-Лейбница используется для  вычисления определенного интеграла  так:

1). Находится первообразная для данной подынтегральной функции.

2). Вычисляются частные  значения первообразной подстановкой  значений x = a и x = b, где b – верхний и a – нижний пределы интегрирования.

3). Определяется разность  частных значений первообразной F(b) – F(а).

Свойства определенного  интеграла

Доопределим понятие  определенного интеграла при a ≥ b следующими равенствами:

 

 

 

Сформулируем некоторые  свойства определенного интеграла  в предположении, что подынтегральная  функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

1). Если функция интегрируема  на [a; b], то она интегрируема на

любом отрезке [x₁; x₂] [a; b].

2). Для любых a, b и c

 

 

3). Интеграл обладает  свойством линейности: для любых  функций f(x) и g(x) и любой постоянной A

 

 

4). Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b], то f(x) · g(x) также интегрируема на этом отрезке.

5). Если f(x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a

 

 

Для определенных интегралов верны также следующие оценки (предполагается, что функции f и g интегрируемы на [a; b]).

1). Если f(x) ≥ g(x), то

 

 

 

2). В частности, если f(x) ≥ 0, то

 

 

3). Если f(x) ≥ 0 для любого х  [a; b] и существует х₀  [a; b] такое, что f(x₀)>0, причем f(x) непрерывна в х₀ то

 

 

4). |f(x)| интегрируема на [a; b], причем

 

 

5). Если на отрезке  [a; b] m ≤ f(x) ≤ M, то

 

 

Геометрический  смысл определенного интеграла

 

Понятие определенного  интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a; b], где a < b,

 

 

 

численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b] (рис. 3).

 

Рис. 3

 

Действительно, при стремлении к нулю ломаная (рис. 4) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.

 

Рис. 4

 

Учитывая сказанное, можно  указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

 

  и т.д.

 

 

(Первый из интегралов – площадь  квадрата со стороной единичной  длины; второй – площадь прямоугольного  треугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четверти круга единичного радиуса).

 

Механический  смысл определенного интеграла

 

Пусть материальная точка  М перемещается под действием  силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х – абсцисса движущейся точки М.

Найдем работу А силы по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (a < b). Для этого отрезок [a; b] точками а = х₀, х₁, ..., b = х_n (х₀< х₁<...< х_n) разобьем на n частичных отрезков [х₀; х₁], [х₁; х₂], ..., [х_n-1; х_n]. Сила, действующая на отрезке [х_i-1; х_i], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка Δх_i = х_i – х_i-1 достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = c_i [х_i-1; х_i]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [х_i-1; х_i], равна произведению F(c_i)∙Δх_i. (Как работа постоянной силы F(c_i) на участке [х_i-1; х_i]).

Приближенное значение работы А силы на всем отрезке [a; b] есть

 

 

Это приближенное равенство  тем точнее, чем меньше длина Δх_i. Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю:

 

 

.

 

Итак, работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующая на отрезке [a; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезу [a; b].

В этом состоит механический смысл определенного интеграла.

Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t):

 

 

масса т неоднородного  стержня на отрезке [a; b] равна определенному интегралу от плотности

 

γ(х):

 

Необходимое условие  интегрируемости

 

Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.

Приведем пример нахождения определенного интеграла на основании  определения.

Пример 1. Вычислить 

Решение. Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки [х_i-1; х_i] разбиения имеют одинаковую длину Δх_i, равную 1/n, где n – число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков [х_i-1; х_i] разбиения точка ξ_i совпадает с правым концом этого отрезка, т.е.

 

ξ_i = х_i = ,

 

где i=1, 2, ..., n. (В силу интегрируемости функции у = х², выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек ξ₁, ξ₂, ..., ξ_п на отрезках разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы). Тогда

 

 

Известно, что сумма  квадратов чисел натурального ряда равна

 

 

Следовательно,

 

 

Анализ приведенного примера показывает, что успешное решение поставленной задачи оказалось  возможным благодаря тому, что  интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставалась задачей чрезвычайно сложной. Установление связи между определенным и неопределенным интегралами позволило разработать эффективный метод вычисления определенного интеграла.

 

 

Список использованной литературы

 

1). Баврин И.И. Высшая математика. Учебник для педагогических институтов. Москва: Просвещение, 1993 год, 319 стр.

2). Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 стр.

3). Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. Москва: Высшая школа, 1972 год, 480 стр.