Николай Иванович Лобачевский

Департамент образования  города Москвы

ГОУ СПО Колледж по подготовке социальных работников № 16

 

 

 

 

 

Учебная дисциплина – математика

 

 

 

НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ. СТЕРЕОМЕТРИЯ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

(Реферат)

 

Выполнил:

студент 4-го курса группы ППО-45

Комаров Максим Артурович

Научный руководитель:

Преподаватель

 

 

 

 

 

Москва 2011

Содержание:

Введение

1. Биография Н.И. Лобачевского 4
2. Геометрия Н.И. Лобачевского 6

2.1 Возникновение геометрии Лобачевского 6

2.2 Векторная алгебра 8

Заключение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Николай Иванович Лобачевский  гениальный математик и преданный  профессор университету Казанскому, в котором он преподавал. Его стремление к познаванию говорит о его  характере, как философа и это  не удивительно, если бы он был иной натуры, то мы не называли бы Николая  Ивановича отцом-изобретателем неевклидовой геометрии. 
Восхищения достойна, несомненно, его храбрость и способность подвергать жёсткой критике или даже опровергать устоявшиеся аксиомы, которые до него считались единственно верными. 
Векторная алгебра, как раздел в геометрии изучается в средней и старшей школе. Она нужна для определения движения материальной точки в пространстве, что даёт некое представление о свойствах пространства и объектах, находящихся в нём. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Биография Н.И. Лобачевского

Николай Иванович родился в небогатой семье мелкого служащего. Почти вся жизнь Лобачевского связана с Казанским университетом, в который он поступил по окончании гимназии в 1807. По окончании университета в 1811 стал математиком, в 1814 — адъюнктом, в 1816 — экстраординарным и в 1822 — ординарным профессором. Дважды (1820-22 и 1823-25 гг.) был деканом физико-математического факультета, а с 1827 по 1846 — ректором университета. 
При Лобачевском Казанский университет достиг расцвета. Обладавший высоким чувством долга, Лобачевский брался за выполнение трудных задач и всякий раз с честью выполнял возложенную на него миссию. Под его руководством в 1819 была приведена в порядок университетская библиотека. 
В 1825 Николай Лобачевский был избран библиотекарем университета и оставался на этом посту до 1835, совмещая (с 1827) обязанности библиотекаря с обязанностями ректора. Когда в университете началось строительство зданий, Лобачевский вошел в состав строительного комитета (1822), а с 1825 возглавил комитет и проработал в нем до 1848 (с перерывом в 1827-33 гг.). 
По инициативе Лобачевского начали издаваться «Ученые записки Казанского университета» (1834), были организованы астрономическая обсерватория и большой физический кабинет. 
Активная университетская деятельность Лобачевского была пресечена в 1846, когда Министерство просвещения отклонило ходатайство ученого совета университета в оставлении Лобачевского не только на кафедре, но и на посту ректора. Незаслуженный удар был тем более ощутим, что Министерство удовлетворило испрашиваемую в том же ходатайстве просьбу ученого совета об оставлении на кафедре астронома И. М. Симонова, участника экспедиции Ф. Ф. Беллинсгаузена и М. П. Лазарева (1819-21 гг.) к берегам Антарктиды. ¹ 
Величайшим научным подвигом Николая Лобачевского считается создание им первой неевклидовой геометрии, историю которой принято отсчитывать от заседания Отделения физико-математических наук в Казанском университете 11 февраля 1826, на котором Лобачевский выступил с докладом «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». В протоколе заседания об этом великом событии следующая запись: «Слушано было представление Г. Орд. Профессора Лобачевского от 6 февраля сего года с приложением своего сочинения на французском, о котором он желает знать мнение членов Отделения и, ежели оно будет выгодно, то просит сочинение принять в составление ученых записок Физико-математического факультета». В 1835 Николай Лобачевский кратко сформулировал побудительные мотивы, которые привели его к открытию неевклидовой геометрии: «Напрасное старание со времен Евклида в продолжении двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки будучи наконец убежден и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 году». ²

Лобачевский исходил из допущения, согласно которому через точку, лежащую  вне данной прямой, проходит несколько прямых, не пересекающихся с данной прямой. Развивая следствия, проистекающие из этого допущения, которое противоречит знаменитому V постулату (в других вариантах 11-ой аксиоме) «Начал» Евклида, Лобачевский не убоялся сделать дерзкий шаг, перед которым из опасения противоречий останавливались его предшественники: построить геометрию, противоречащую повседневному опыту и «здравому смыслу» — квинтэссенции повседневного опыта. 
Ни комиссия в составе профессоров И. М. Симонова, А. Я. Купфера и адъюнкта Н. Д. Брашмана, назначенная для рассмотрения «Сжатого изложения», ни другие современники Лобачевского, в том числе выдающийся математик М. В. Остроградский, не смогли по достоинству оценить открытие Лобачевского. Признание пришло лишь через 12 лет после его кончины, когда в 1868 г. Э. Бельтрами показал, что геометрия Лобаческого может быть реализована на псевдосферических поверхностях в евклидовом пространстве, если за прямые принять геодезические. 
В последние годы жизни Лобачевского преследовали всякого рода огорчения. Старший сын его, имевший большое сходство с отцом, умер студентом университета; в нем проявились те же необузданные порывы, которыми отличался в ранней молодости и отец. 
Состояние Лобачевских, по словам сына, расстроилось от не совсем удачной покупки имения. Лобачевский купил последнее, рассчитывая на капитал жены, находившийся в руках ее брата, страстного игрока, театрала и поэта. Деньги сестры брат проиграл в карты вместе со своими собственными. И Лобачевский, несмотря на всю свою ненависть к долгам, принужден был занимать; дом в Казани был также заложен. Оставшиеся в живых дети Лобачевского приносили ему мало утешения. 
В 1845 году Риманбыл единогласно избран ректором университета на новое четырехлетие, а в 1846 году, 7 мая, кончился срок пятилетия его службы как заслуженного профессора. Совет Казанского университета снова вошел с прошением об оставлении Лобачевского в должности профессора еще на пять лет. Несмотря на это, вследствие какой-то темной интриги от министерства последовал отказ. 
Вдобавок ко всему Лобачевский потерял и в материальном отношении. Лишаясь профессорского звания, он должен был довольствоваться пенсией, которая при старом уставе составляла 1 тысячу 142 рубля и 800 рублей столовых. Свои обязанности ректора Лобачевский продолжал исполнять, не получая никакого вознаграждения. 
Деятельность Лобачевского в последнее десятилетие его жизни по своей интенсивности представляла только тень прошлого. Лишенный кафедры Лобачевский читал лекции по своей геометрии перед избранной ученой публикой, и слышавшие их помнят, с каким глубокомыслием развивал он свои начала. 
За роковыми этими годами наступили для Лобачевского годы увядания; он начал слепнуть. Конечно, ничто не в состоянии дать счастья в годы разрушения сил, но лучшие условия могут смягчить и это горе. Не видя вокруг себя людей, проникнутых его идеями, Лобачевский думал, что эти идеи погибнут вместе с ним.

Умирая, Николай Лобачевский  произнес с горечью: «И человек родился, чтобы умереть». Его не стало 12 февраля 1856 года. ¹

Геометрия Н.И. Лобачевского

2.1 Возникновение геометрии Лобачевского

Источником Лобачевской  геометрии послужил вопрос об аксиоме о параллельных, которая известна также как V постулат Евклида. Этот постулат, ввиду его сложности в сравнении с другими, вызвал попытки дать его доказательство на основании остальных постулатов. 
Вопрос о V постулате Евклида, занимавший геометров более двух тысячелетий, был решен Лобачевским. Это решение сводится к тому, что постулат не может быть доказан на основе др. посылок евклидовой геометрии и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий. Лобачевский сделал об этом сообщение в 1826, а в 1829—30 напечатал работу «О началах геометрии» с изложением своей теории. В 1832 была опубликована работа венгерского математика Я. Больяй аналогичного содержания. Как выяснилось впоследствии, немецкий математик К. Ф. Гаусс также пришёл к мысли о возможности существования непротиворечивой неевклидовой геометрии, но скрывал её, опасаясь быть непонятым. Хотя Лобачевского геометрия развивалась как умозрительная теория и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не менее именно Лобачевский рассматривал её не как игру ума, а как возможную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации и тем полностью решен вопрос о её реальном смысле, логической непротиворечивости. ²¹

Факты из геометрии Лобачевского, отличающие её от геометрии Евклида и установленные самим  же Лобачевским:

1. В Лобачевского геометрия не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного треугольника с данной суммой углов.
2. 2) Сумма углов всякого треугольника меньше p и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре.  
   Разность p — (a + b + g), где a, b, g — углы треугольника, пропорциональна его площади.
3. Через точку О, не лежащую на данной прямой а, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих а и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние b, b`, которые и называются параллельными прямой а в смысле Лобачевского.  
   В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) а общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек) (рис. 1,3). Угол ее между прямой b (или b`) и перпендикуляром из О на а — т. н. угол параллельности — по мере удаления точки О от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель b с одной стороны (а b` с противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой — бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).
4. Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.
5. Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.
6. Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.
7. Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность — предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
8. Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.
9. Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от p; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2p, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы Лобачевского геометрия переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай Лобачевского геометрии. ¹

Лобачевского геометрия  продолжает разрабатываться многими  геометрами; в ней изучаются: решение  задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая  теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также  механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В  целом Лобачевского геометрия является обширной областью исследования, подобно  геометрии Евклида. ²

 

 

 

 

 

2. Векторная алгебра

В этом разделе изучаются  векторные величины (или просто векторы), т.е. такие величины, которые, кроме  своего численного значения, характеризуются  еще направленностью. Физическими  примерами векторных величин  могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила. 
Мы изучим простейшие операции над векторами (сложение векторов, умножение векторов на число), введем понятие линейной зависимости векторов и рассмотрим основные приложения этого понятия, изучим различные типы произведений векторов, актуальные для различных приложений (скалярное и векторное произведения двух векторов, смешанное и двойное векторное произведение трех векторов). 
Понятие вектора и линейные операции над векторами. Абстрагируясь от конкретных свойств, встречающихся в природе физических векторных величин, мы приходим к понятию геометрического вектора, или просто вектора. 
Геометрическим вектором, или просто вектором, будем называть направленный отрезок.

Мы будем обозначать вектор либо как направленный отрезок символом АВ, где точки А и В обозначают соответственно начало и конец данного направленного отрезка (вектора), либо одной латинской буквой, например а или b . На чертеже будем изображать вектор стрелкой, причем латинскую букву, обозначающую этот вектор, будем писать у его конца (рис. 1). ¹

 

рис. 1

 

Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора а, то мы будем говорить, что вектор а приложен в точке А. Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля (или абсолютной величины). Так, /АВ/ и /а/ обозначают длины векторов АВ и а соответственно. 
Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Это позволяет нам при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом «нуль».

Введем важное понятие коллинеарности векторов.

 

 

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой либо на параллельных прямых. 
Теперь мы можем сформулировать понятие равенства двух векторов: два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

На рис. 2изображены слева неравные, а справа равные векторы а и b ¹

 

рис. 2

Из определения равенства  векторов непосредственно вытекает следующее утверждение: «Каковы  бы ни были вектор а и точка Р, существует, и притом единственный, вектор PQ с началом в точке Р , равный вектору а ». 
Иными словами, точка приложения данного вектора а может быть выбрана произвольно (мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. В самом деле, существует лишь одна прямая, проходящая через точку Р и параллельная той прямой, на которой лежит вектор а. На указанной прямой существует единственная точка Q такая, что отрезок PQ имеет длину, равную длине вектора а, и направлен в ту же сторону, что и вектор а. и получающихся один из другого параллельным переносом). В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения). 
Линейные операции над векторами. Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа. 
Сначала определим операцию сложения двух векторов.  
Определение 1. Суммой а+b двух векторов a u b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора а. 
Правило сложения двух векторов, содержащееся в этом определении, обычно называю «правилом треугольника».  
Это название объясняется тем, что в соответствии с указанным правилом слагаемые векторы а и b (в случае, если они не коллинеарны) и их сумма а + b образуют треугольник (рис. 3). ²

рис. 3

Заключение

Открытие неевклидовой геометрии  доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира. 

 

 

 

 

Список литературы:

1. Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский. - М.: Наука. 1992. - 229 с. (Научно-биографическая серия).

2. Н.И. Лобачевский. К 200-летию. (Авторы: Вишневский В.В., Писарева С.В.). - Казань. Изд-во Казан. ун-та, 1992.

3. Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский. - В кн.: Рассказы о казанских учёных. - Казань: Таткнигоиздат, 1983. - С.5 - 19.