Множини в сучасній математиці

З теми: “ Множини в сучасній математиці ”

 

КОМУНАЛЬНИЙ ЗАКЛАД ОСВІТИ

«СЕРЕДНЯ  ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА № 50»

ДНІПРОПЕТРОВСЬКОЇ МІСЬКОЇ РАДИ

ШКІЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК «СИРІУС»

 Науково-дослідницька робота

(ПРОЕКТ)

 

 

 

 

Виконала:

учениця 10-а класу.

Перевірила:

Федоренко В. О.,

вчитель математики

План:

 

• 1. Коротка історична довідка.
• 2. Поняття множини. Способи задання множин.
• 3. Скінченні і нескінченні множини.
• 4. Способи задання множин.
• 5. Порожня множина.
• 6. Підмножини.
• 7.Операції над множинами і їхні властивості.
• 8. Декартів (прямий) добуток множин .
• 11.Висновки.  
   
  

1. Коротка історична довідка  

 

• Основи теорії множин були закладені відомим німецьким математиком Георгом Кантором у другій половині минулого століття. Поява теорії множин була зустрінута з ентузіазмом багатьма авторитетними математиками.

• Вони побачили в ній можливість створення метамови математики, тобто формальної одностайної системи понять і принципів, за допомогою якої можна було б викласти з єдиних позицій зміст різноманітних традиційно далеких один від одного розділів математики. Перші такі досить успішні спроби були виконані вже незабаром після виникнення канторівської теорії множин.

 

 

• Однак пізніші дослідники виявили в теорії Кантора чимало суперечностей: так званих парадоксів або антиномій теорії множин. Виникла кризова ситуація. Одна частина математиків, посилаючись на штучність сформульованих антиномій, вважала за краще не помічати ці суперечності або не надавати їм великого значення. У той час як інша (скажімо, відповідальніша) група математиків зосередила свої зусилля на пошуках більш обгрунтованих та точних принципів і концепцій, на яких могла б бути побудована несуперечлива теорія множин.

• У результаті було запропоновано кілька формальних (або аксіоматичних) систем, які служать фундаментом сучасної теорії множин, а значить, фундаментом всієї класичної математики.

 

• Важливість цих досліджень серед іншого підкреслює той факт, що значний внесок у становлення аксіоматичної теорії множин зробили такі видатні математики і мислителі нашого століття, як Б. Рассел, Д. Гільберт, К. Гедель та ін.
• Сьогодні теорія множин - це математична теорія, на якій ґрунтується більшість розділів сучасної математики, як неперервної, так і дискретної.

 

2. Поняття множини. Способи задання  множин  

 

• Множина́ — одне з основних понять сучасної математики. Строго воно не визначається, але може бути дано інтуїтивне визначення множини як сукупності певних і різних об'єктів довільної природи, яка розглядається як одне ціле. Канторівський вираз: "Множина - це зібрання в єдине ціле визначених об’єктів, які чітко розрізняються нашою інтуіцією або нашою думкою" - безумовно не може вважатися строгим математичним означенням, а є скоріше поясненням поняття множини, яке заміняє термін "множина" на термін "зібрання".

• Іншими синонімами основного слова "множина" є "сукупність", "набір", "колекція", "об’єднання" тощо.
• Прикладами множин можуть служити: множина десяткових цифр, множина літер українського алфавіту, множина мешканців Києва, множина парних чисел, множина розв’язків деякого рівняння та ін.

 

• На письмі множини позначаються, як правило, великими літерами. Для деяких множин у математиці вживаються сталі позначення.
• ℕ - множина натуральних чисел,
• ℤ - множина цілих чисел,
• ℚ - множина раціональних чисел,
• ℝ - множина дійсних чисел,
• ℂ - множина комплексних чисел

• Об’єкти, з яких складається задана множина, називаються її елементами. Елементи множин позначатимемо малими літерами латинського алфавіту. Той факт, що об’єкт a є елементом множини M записується так: aM (читається: "a належить M" або"a є елемент M"). Знак належності елемента множині  є стилізацією першої літери грецького слова  (бути). Для того, щоб підкреслити, що деякий елемент a не належить множині M, вживають позначення aM або a M.

Скінченні і нескінченні множини.

 

• Множину називають скінченною, якщо кількість її елементів скінченна, тобто існує натуральне число k, що є числом елементів цієї множини. У противному разі множина є нескінченною.

Способи задання множин:

 

• 1. Якщо a₁,a₂,...,a_n - деякі об’єкти, то множина цих об’єктів позначається через {a₁,a₂,...,a_n}, де у фігурних дужках міститься перелік усіх елементів відповідної множини. З останнього зауваження випливає, що в такий спосіб можуть бути задані тільки скінченні множини. Порядок запису елементів множини при цьому позначенні є неістотним.

• Другий спосіб задання множин ґрунтується на зазначенні загальної властивості або породжувальної процедури для всіх об’єктів, що утворюють описувану множину. У загальному випадку задання множини M має вигляд:

   M = {a | P(a)}.

• Приклад:S = { n | n - непарне число }  
  або S = { n | n = 2k+1, kZ },

   X = { x | x = k, kZ },

   F = { f_i | f_i+2 = f_i+1 + f_i, iN, f₁ = f₂ = 1 }.

 

Порожня множина.

 

• Існує також поняття про порожню множину:
• Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою і позначається 

3. Підмножини  

 

• Дві множини A і B називаються рівними (записується A=B), якщо вони складаються з тих самих елементів.
• Множина A називається підмножиною множини B (записується AB або BA) тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини A належить також множині B. Кажуть також, що множина A міститься у множині B. Знаки  і  називаються знаками включення.

 

• Якщо AB, однак AB, то пишуть AB і називають множину A власною (строгою або істинною) підмножиною множини B. Знак  (або ), на відміну від знака  (або ), називається знаком строгого включення.

 

4. Операції над множинами та  їхні властивості  

 

• а) Об’єднанням множин A і B (позначається AB ) називається множина тих елементів, які належать хоча б одній з множин A чи B. Символічно операція об’єднання множин записується так
• A  B = { x | xA або xB}  або xAB   
• Приклад 1.3. {a,b,c}  {a,c,d,e} = {a,b,c,d,e}.

 

• б) Перетином множин A і B (позначається AB ) називається множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать множинам A і B одночасно. Тобто
• AB = { x | xA і xB} або xAB   
• Приклад 1.4.  {a,b,c}{a,c,d,e} = {a,c},
• {a,b,c}{d,e} = .

 

• в) Різницею множин A і B (записується A\B ) називається множина тих елементів, які належать множині A і не належать множині B. Отже,
• A \ B = { x | xA і xB} або xA \ B   
• Приклад 1.5.  {a,b,c} \ {a,d,c} = {b},
• {a,c,d,e} \ {a,b,c} = {d,e},
• {a,b} \ {a,b,c,d} = .

 

5. Декартів (прямий) добуток множин

 

• Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується AB) називається множина всіх пар (a,b), в яких перший компонент належить множині A (aA), а другий - множині B (bB).
•  
  Тобто
• AB = {(a,b) | aA і bB } або (a,b)AB   

 

Висновки:

 

• 1.Засновником теорії множин є Георг Кантор.
• 2. Множина́ — одне з основних понять сучасної математики. Строго воно не визначається, але може бути дано інтуїтивне визначення множини як сукупності певних і різних об'єктів довільної природи, яка розглядається як одне ціле.
• 3. На письмі множини позначаються, як правило, великими літерами. Для деяких множин у математиці вживаються сталі позначення.
• 4. Об’єкти, з яких складається задана множина, називаються її елементами.

 

• 5. Множину називають скінченною, якщо кількість її елементів скінченна, тобто існує натуральне число k, що є числом елементів цієї множини. У противному разі множина є нескінченною.
• 6. Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою і позначається 
• 7.Дії над множинами.

 

 

 

Використана література:

 

• Математична хрестоматія. Кованцев М. І.
• Енциклопедичний словник юного математика.

 

1