Многошаговые методы решения дифференциальных уравнений

Министерство  образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение  высшего профессионального образования 

Тульский  государственный университет 

КАФЕДРА АВТОМАТИКИ И ТЕЛЕМЕХАНИКИ 
 
 
 
 
 
 
 

МНОГОШАГОВЫЕ  МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 
 

Реферат

по курсу  «Вычислительный практикум» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Тула 2011

Содержание

Содержание2

Введение3

Явный метод  Адамса4

Неявный метод  Адамса – Моултона6

Метод Адамса –  Бэфшортса – Моултона7

Список используемой литературы8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

    Дифференциальные  уравнения связаны с построением  моделей динамики (движение) объектов исследования. Они описывают, как  правило, изменение параметров объектов во времени (хотя могут быть и другие случаи). Результатом решения дифференциальных уравнений являются функции, а не числа, как при решении алгебраических уравнений, поэтому они и более трудоемки.

    При использовании численных методов  решение дифференциальных уравнений представляется в табличном виде, т.е. получается совокупность значений . Решение носит шаговый характер, т.е. по одной или нескольким начальным точкам за один шаг находят следующую точку, затем следующую и т.д. Решение между двумя соседними значениями аргумента называется шагом.

    Данный  реферат включает в себя три многошаговых метода решения обыкновенного дифференциального уравнения:

1. Явный метод Адамса.
2. Неявный метод Адамса – Моултона.
3. Метод Адамса – Бэшфортса – Моултона.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Явный метод Адамса

    Рассмотрим  задачу Коши:

     (1)

     (2)

    Точность  вычислений в отличие от одношаговых  методов можно увеличить, если использовать информацию о нескольких предыдущих точках

    Большой и важный класс многошаговых методов  возникает на основе следующего подхода. Если подставить в формулу (1) точное решение и проинтегрировать это уравнение на отрезке _, то получим:

     (3),

    где в последнем члене предполагаем, что p(x) – полином, аппроксимирующий f(x,y(x)) . Чтобы построить этот полином, предположим, что y_k , y_k-1 , … , y_k-n – приближения к решению в точках x_k , x_k-1 , … , x_k-n . Мы по-прежнему считаем, что узлы расположены равномерно с шагом h. Тогда f_i = f(x_i , y_i ) (i = k, k-1, …, k-n) есть приближения к f(x,y(x)) в точках x_k , x_k-1 , … , x_k-n , и мы в качестве p возьмём полином для набора данных (x_i , f_i ) (i = k, k-1, …, k-n) . Таким образом, p – полином степени n , удовлетворяющий условиям p(x_i ) = f_i , (i = k, k-1, …, k-n). В принципе, можно проинтегрировать этот полином явно, что ведёт к следующему методу:

       (4)

    В простейшем случае, когда n=0 , полином p есть константа, равная f_k и (4) превращается в обычный метод Эйлера. Если n=1 , то p есть линейная функция, проходящая через точки (x_{k -1} , f_{k -1} ) и (x_k , f_k ) ,т.е.

     . 
 

    Интегрируя  этот полином от x_k до x_{k +1,} получаем следующий метод:

     (5)

    который является двухшаговым, поскольку использует информацию в двух точках x_k и x_{k -1} .

    Аналогично, если n=2, то p есть квадратичный полином, интерполирующий данные (x_{k -2} , f_{k -2} ) , (x_{k -1} , f_{k -1} ) и (x_k , f_k ) , а метод имеет вид:

     (6)

    Если  n=3 , то интерполяционный полином является кубическим, а соответствующий метод определяется формулой:

     (7)

    Методы (6) и (7), соответственно называются трёхшаговым и четырёхшаговым.

    Формулы (5) – (7) известны как явные методы Адамса, т.к. они для нахождения y_k+1 не требуют решения никаких уравнений. Метод (5) имеет второй порядок точности, поэтому его называют методом второго порядка. Аналогично, методы (6) и (7) называют соответственно методами Адамса третьего и четвёртого порядков. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Неявный метод Адамса –  Моултона

     Методы Адамса используют уже сосчитанные значения в точке x_k и в предыдущих точках. В принципе, при построении интерполяционного полинома мы можем использовать и точки x_k+1 , x_k+2 и т.д. Простейший случай при этом состоит в использовании точек x_k+1 , x_k , … , x_k-n и построении интерполяционного полинома степени n+1 , удовлетворяющего условиям p(x_i )= f_i (i = k+1, k, …, k-n) . При этом возникает класс методов, известных как неявные методы Адамса (Адамса – Моултона).

     Если  n=0, то p - линейная функция, проходящая через точки (x_k , f_k ) и (x_k+1 , f_k+1 ), и соответствующий метод

      (8)

     является  методом Адамса-Моултона второго порядка.

     Если  n=2, то p - кубический полином, построенный по точкам (x_k+1 , f_k+1 ) , (x_k , f_k ), (x_{k -1} , f_{k -1} ) и (x_{k -2} , f_{k -2} ), и соответствующий метод

      (9)

     является  методом Адамса-Моултона четвёртого порядка.

     Заметим теперь, что в формулах (8) и (9) значение f_k+1 неизвестно. Дело в том, что для вычисления f(x_k+1 , y_k+1 )= f_k+1 нужно знать значение y_k+1 , которое само пока является неизвестным. Следовательно, методы Адамса-Моултона определяют y_k+1 только неявно. Так, например, соотношение (8) действительно является уравнением

     

     относительно  неизвестного значения y_k+1. То же самое справедливо и относительно (9). В силу этого методы Адамса-Моултона называются неявными. В то же время методы Адамса-Башфорта называют явными, поскольку они для нахождения значения y_k+1 не требуют решения никаких уравнений. 

Метод Адамса – Бэшфортса – Моултона

    Теперь  рассмотрим метод Адамса – Бэшфортса – Моултона. Он также относится задачам класса Коши, а именно к численным решениям многошаговыми методами.

    Рассмотрим  четырхшаговый метод типа предиктор – корректор.

    Аналогично  методу Адамса по значениям в узлах  рассчитывается «предварительное» значение решения в узле (этап предиктор):

       

    С помощью полученного значения рассчитывается «предварительное» значение функции в новой точке.

    На  корректирующем этапе по методу Адамса четвертого порядка точности по значениям  в узлах  рассчитывается «окончательное» значение решения в узле .

    

    Для того чтобы начать расчет методом Адамса – Бэшфортса – Моултона, необходимо знать значения функции в четырех первых узлах сетки. Обычно эти значения определяются каким-либо одношаговым методом. 
 
 
 
 
 
 
 

Список  используемой литературы

1. Яблочкин Л.Б. Основы численных методов. Тула, 2000.
2. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. М. Высш. шк., 2002, 840 с.
3. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966.
4. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы.- М.: Наука, 2001.-632с.