Мир фракталов

Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C,

где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет). [5]

 
Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 pаз.

        Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон). [4]

         3.3Стохастические фракталы

        Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. [2]

      Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).[2]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                       4.Цвета фракталов

 

           Красоту фракталам добавляет их яркая и броская расцветка. Сложные цветовые схемы делают фракталы красивыми и запоминающимися. С математической точки зрения фракталы – это черно-белые объекты, каждая точка которых либо принадлежит множеству, либо не принадлежит. Но возможности современных компьютеров позволяют делать фракталы цветными и яркими. И это не простое раскрашивание соседних областей множества в произвольном порядке.[3]

           Анализируя  значение каждой точки, программа  автоматически определяет оттенок того или иного фрагмента. Черным цветом изображаются точки, в которых функция принимает постоянное значение. Если же значение функции стремится к бесконечности, то тогда точка окрашивается в другой цвет. Интенсивность окрашивания зависит от скорости приближения к бесконечности. Чем больше повторений требуется для приближения точки к стабильному значению, тем светлее становится ее оттенок. И наоборот – точки, быстро устремляющиеся к бесконечности, окрашены в яркие и насыщенные цвета.[1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                   5.Практическое применение фракталов.

 

           Уже сегодня фракталы находят широкое применение в самых разнообразных областях. Активно развивается направление фрактального архивирования графической информации. Теоретически, фрактальное архивирование может сжимать изображения до размеров точки без потери качества. При увеличении картинок, сжатых по фрактальному принципу, отчетливо отображаются мельчайшие детали, а эффект зернистости при этом полностью отсутствует.[4]

          Принципы теории фракталов используются в медицине для анализа электрокардиограмм, поскольку ритм сердечных сокращений также является фракталом. Активно развивается направление исследований кровеносной системы и других внутренних систем человеческого организма. В биологии фракталы применяются для моделирования процессов, происходящих внутри популяций.  
          Метеорологи используют фрактальные зависимости для анализа интенсивности движения воздушных масс, благодаря чему появляется возможность более точного прогнозирования изменений погоды. Физика фрактальных сред с большим успехом решает задачи изучения динамики сложных турбулентных потоков, процессов адсорбции и диффузии. В нефтехимической отрасли фракталы используются для моделирования пористых материалов. Теория о фракталах эффективно применяется в работе на финансовых рынках. Фрактальная геометрия используется для создания мощных антенных устройств. [4]

           Сегодня теория фракталов является самостоятельной областью науки, на основе которой создаются все новые и новые направления в различных областях. Значимости фракталов посвящено множество научных трудов.

          Но эти необычные объекты не только чрезвычайно полезны, но и невероятно красивы. Именно поэтому фракталы постепенно находят свое место в искусстве. Их удивительная эстетическая привлекательность вдохновляет многих художников на создание фрактальных картин. Современные композиторы создают музыкальные произведения, используя электронные инструменты с различными фрактальными характеристиками. Писатели применяют фрактальную структуру для формирования своих литературных произведений, а дизайнеры создают фрактальные предметы мебели и интерьера.[3]

          Яркие  и невероятно красивые фракталы нашли широчайшее применение в компьютерной графике. Возможности современных компьютеров позволяют легко и быстро генерировать фракталы, создавая очень реалистичные изображения любых природных объектов. Сегодня каждый желающий, освоив один из многочисленных генераторов фракталов, может почувствовать себя настоящим творцом и научиться создавать образы, секрет которых еще недавно было доступен только мудрой и очень изобретательной природе.[1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                              Заключение

 

         Разветвления  трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и  изгибающаяся, рынок ценных бумаг  - это все фракталы. От представителей  древних цивилизаций до Майкла  Джексона, ученые, математики и артисты, как и все остальные обитатели этой планеты, были зачарованы фракталами и применяли из в своей работе.

Программисты и специалисты  в области компьютерной техники  так же без ума от фракталов, так  как фракталы бесконечной сложности  и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах. Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же революцией в человеческом восприятии мира.[2]

         Фрактальная  графика - это не просто множество  самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Не только визуальными, но ещё и структура этого изображения отражает нашу жизнь. Взять, к примеру, ДНК, это всего лишь основа, одна итерация, а при повторении… появляется человек! И таких примеров много. Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств и броуновского движения. Фрактальная графика необходима везде, и развитие "фрактальных технологий" - это одна из немаловажных задач на сегодняшний день.[1]

 

 

 

 

 

 

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

                           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                   Список исползуемой литературы

 

1.Божкин С.В., Паршин Д.А. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

2.Бондаренко  В.А.,Дольников В.Л. Фрактальное сжатие изображений по Барнсли-Слоану.// Автоматика и телемеханика.-2005.-N5.-с.12-20.

3.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.

4.Морозов А.Д. Введение в теорию  фракталов — М .: «Институт компьютерных исследований», 2002

5.Федер Е. Фракталы. — М: «Мир»,2003.