Методы решения рациональных неравенств высших степеней

 

 + +

-3 -1 0 x

 

Відповідь:. .

 

Приклад 5. Розв’язати нерівність

 

.

 

Перепишемо нерівність

 

.

 

Числа , , є коренями рівняння Наносимо дані точки на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції

 

 

 

на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку  з інтервалу , дістаємо . Проводимо через задані точки «криву знаків» і дістаємо розв’язання.

 

 + + +

- 6 x

 

Відповідь:.

 

 

2.3 Розв’язування дробово-раціональних  нерівностей

 

Приклад 1. Розв’язати нерівність

 

.

 

Розв’язання: розкладемо чисельник і знаменник дробу, що стоїть в лівій частині нерівності, на множники:

 

.

 

Отриманий дріб містить  два нелінійні множники: і . Перший з них додатний і його можна опустити, другий множник виключимо у відповідності з пунктом 4:

 

 

Далі, на числовій осі  відмітимо точки  , та інтервали, що утворюються при цьому, знаками:

 

 + +

-2 2 x

 

Виберемо інтервал відмічений знаком «-» (так як ), і нанесемо на числову вісь точку . Ця точка попадає у вибраний інтервал. «Виколюючи» точку , отримуємо інтервали і , об’єднання яких утворює множину розв’язків даної нерівності: 

 

Відповідь: .

Приклад 2. Розв’язати нерівність

 

.

 

Розв’язання: розкладемо багаточлен, що стоїть в чисельнику лівої частини нерівності, на множники. Розглянемо рівняння . Серед дільників 8 підберемо корінь рівняння . Розділимо ліву частину рівняння на двочлен :

 

 

 

 

 

 

 

Тепер розглянемо рівняння . Серед дільників 8 підберемо рівняння і розділимо ліву частину на двочлен :

 

 

 

 

 

 

Так як квадратний тричлен не має дійсних коренів, отримаємо розкладення

 

.

 

Таким чином, дана нерівність перетворюється до вигляду:

 

.

 

Дріб в лівій частині  цієї нерівності містить два нелінійних множники: квадратний тричлен  , що більший нуля, і . Виключимо ці множники:

 

 

 

На числовій осі відмітимо  точки  , і інтервали, що утворюються знаками:

 

 

 

 

Виберемо інтервал зі знаком «-» і потім відмітимо на осі точку . Ця точка належить вибраному інтервалу, і тому, виключаючи цю точку, отримуємо, що - множина розв’язків даної нерівності.

Відповідь: .

Приклад 3. Розв’язати нерівність

 

.

 

Розв’язання: у відповідності  з описаною схемою методу інтервалів

 

 

Будемо відмічати на числовій осі точки  , , зафарбованими кружками (нерівність нестрога!), а точку - світлим кружком:

 

 

Розв’язок даної даної  нерівності складаються з об’єднанням  проміжків  .

 

Відповідь: .

 

Приклад 4. Розв’язати нерівність

 

.

 

Розв’язування: Нанасимо на числову пряму точки , , , , . Точки , , відзначаємо темними кружками, а точки , світлими.

 

 

Провівши «кривину знаків»  з урахуванням того, що в околі  точок  і ліва частина нерівності зберігає знак (тому що у виразах ), показники степенів є парними числами), дістанемо розв’язання Ця множина на рисунку заштрихована.

 

Відповідь:

 

Приклад 5. Розв’язати нерівність

 

.

 

Наносимо точки  числову вісь. За допомогою «кривої знаків» дістанемо розв’язки, заштриховані на рисунку.

 

 

Зазначимо, що точка  входить у множину розв’язків, тому що при дістанемо .

 

Відповідь: .

 

2.4 Розв’язування  раціональних нерівностей методом  заміни змінної

 

Приклад 1. Розв’язати нерівність

 

 

Зробивши заміну змінної  , дістаємо

 

.

 

Коренями рівняння

 

 є  , .

 

Звідси 

 

.

 

Оскільки  , то дістаємо

 

 

 

Розв’яжемо нерівність

 

 

 

0 4 x

 

Розв’яжемо нерівність

 

 

 

-1 5 x

 

З малюнків бачимо, що розв’язком початкової нерівності є об’єднання множин і .

 

Відповідь: і

 

Приклад 2. Розв’язати нерівність

 

 

Зробивши заміну змінної  , дістаємо

 

.

 

Коренями рівняння є , .

 

Звідси .

 

Оскільки  , то дістаємо

 

 

 

Зобразимо отриману множину  за допомогою координатної прямої.

 

 

1 2 x

Відповідь: .

 

Висновки

 

Сучасна педагогічна  наука стверджує, що для продуктивного  засвоєння учнями знань і для  їхнього інтелектуального розвитку важливо встановлювати зв’язки, як між різними розділами курсу, так і між різними дисциплінами в цілому. Для чого потрібно вміти розв’язувати раціональні нерівності? Так, щоб за їх допомогою розв’язувати задачі. Уміння розв’язувати раціональні нерівності вищих степенів дозволить учням розв’язувати, здавалося б, складні нерівності просто, також учні зможуть використовувати уміння та навички при розв’язуванні ірраціональних, логарифмічних, показникових та тригонометричних нерівності.

Тому доцільно розглянути та ознайомитись з різноманітними методами та прийоми розв’язування раціональних нерівності вищих степенів. Для досягнення мети було поставлено наступні завдання:

• проаналізувати методичну літературу з означеної теми;
• ознайомитись з теоретичними відомостями, розглянути основні теореми та методичні факти, що стосуються даної теми;
• розглянути різноманітні методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів;
• навести низку прикладів розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів різними методами.

 

Список використаних джерел

 

1. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г.: Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов.- 2-е изд., перераб. и доп. / В.Н.Литвиненко, А.Г. Мордкович, - М.: Просвещение, 1991.- 352 с.
2. Титаренко О.М.: Форсований курс шкільної математики: Навчальний посібник./ О.М. Титаренко – Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2005.-368 с.
3. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк./ И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев - М.: Просвещение, 1991.-384 с.
4. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы.-2-е изд., перераб. и доп./ А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский - М.: Наука Гл. ред. физ.-мат.лит., 1989. – 576 с.
5. Шахмейстер А.Х.: Уравнения.- 3-е издание, исправленное и дополненное / А.Х. Шахмейстер – М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2008.-264 с.
6. Ципкін О.Г.:Довідник з математики для середніх навчальних закладів / А.Г.Ципкін.- К.: Вища шк. Головне вид-во, 1988.-416 с.
7. Маслова Т.Н., Суходений А.М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО Изд. дом “ОНИКС 21 век”, 2003. - 672 с.
8. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н.М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 430 с.
9. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10-11 кл. общ. учредж. / Под ред. А.Н. Колмогорова. - 12-е изд. - М.: Просвещение, 2002. - 384 с.

2