Методика оптимальный решений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО  ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО Уральский  государственный экономический  университет

ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

по дисциплине «Теория  вероятностей и математическая статистика»

 

 

 

 

Преподаватель: Петрова  С.Н.

Студент: Хазиахметова А.А.

Финансы и кредит

Гр. ФК-11 КФ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург

2012

 

 

Задача №1

Шифр сейфа  заключается в комбинации из четырех  разных цифр от 1 до 9. Взломщик пытается открыть сейф, угадав нужную комбинацию. Какова вероятность открыть сейф с первой попытки?

А) вероятность угадать  первую цифру с первой попытки  равна один из девяти, то есть

Б) вероятность угадать  вторую цифру с первой попытки  равна один из восьми, то есть

В) вероятность угадать  третью цифру с первой попытки  равна один из семи, то есть

Г) вероятность угадать  четвертую цифру с первой попытки  равна один из шести, то есть

Вероятность открыть сейф с первой попытки равна произведению полученных вероятностей

 

Задача №2

В кабинете декана 3 телефона. Вероятность того, что  в течение часа телефон не зазвонит, для первого телефона равна 0,9, для 2-го равна 0, 8, для 3-го телефона 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа, по крайней мере, один телефон не зазвонит.

Событие В – не зазвонит хотя бы один телефон.

Это означает, что не зазвонит один любой телефон, или любые два, или все три.

Событие – зазвонят в течение часа все телефоны.

 Очевидно, что события В и  противоположны то есть, р(В) = 1 = Р( )

События означает, что одновременно появились независимые события:

  - зазвонит первый телефон

- зазвонит второй телефон

- третий телефон

Где Р( )= =1 – 0,9 = 0,1

Р( ) = 1- Р( ) =1- 0,8 = 0,2

Р( ) = 1- Р( ) = 1 – 0,85 = 0,15

Считая, что следующее событие  означает:

=  не зазвонит первый телефон

= не зазвонит второй телефон

А = не зазвонит третий телефон

Р( ) = Р( )

По правилу умножения вероятностей независимых событий:

 Р( ) = Р( ) = Р( ) * Р( ) *Р( ) = 0,1 *0,2 * 0,15 = 0,003

Тогда Р(В) = 1- Р( ) = 1-0,003 = 0,997

 

Задача №3

В первом ящике  находится 3 синих и 2 зеленых предмета, во втором  - 4 синих и 5 зеленых. Из каждого ящика выбирается наугад 2 предмета. Найти вероятность того, что все выбранные предметы будут одного цвета.

Так все предметы должны быть или синими или зелеными, то в данном случае речь идет о совмещении следующих событий:

 

 Где  – появление первого синего предмета их 1-го ящика

- появление второго синего предмета из 1-го ящика

  - появление первого синего предмета из 2-го ящика

- появление второго синего  предмета из 2-го ящика

  – появление первого зеленого  предмета из 1-го ящика

- появление второго зеленого  предмета из 1-го ящика

- появление первого зеленого  предмета из 2-го ящика

- появление второго зеленого  предмета из 2-го ящика

Определим

Р( ) =

Р(

P( ) =

Р( ) =

Р( ) =

Р( ) =

Р( ) =

Р( ) =

 Тогда теорема умножения вероятностей

Р ( ) =  Р( ) * Р( ) * Р( )*( ) =

Р( ) = Р( ) * Р( ) * Р( ) * Р( ) =

Так как в условии  задачи вопрос ставится так: все предметы должны быть одного цвета, то есть либо синими, либо зелеными, то речь идет об объединении двух вариантов совмещенных независимых событий. Тогда по теореме сложения вероятностей

 

Задача №4

Учителями истории  могут работать выпускники трех вузов  города. Первый вуз выпускает 45% общего количества историков, второй – 40%, третий – 15%. Из первого вуза учителями в школу идут 70% выпускников, из второго – 30%, из третьего – 10%. Какова, что данный выпускник пойдет работать учителем в школу?

Первый вуз выпускает  45% историков,

Второй - вуз выпускает  40% историков

Третий - вуз выпускает  15% историков

Очевидно, что

= 45%+40%+15% = 100%- общее число историков

Определим число историков  идущих работать в школу по каждому  вузу в % :

1. = 31,5

2. = 12%

3. = 1,5%

Сумма полученных результатов

 m= 31,5%+12%+1,5% = 45%

Дает нам количество выпускников в % от общего числа выпускников, идущих работать в школу.  
Тогда вероятность того, что данный выпускник пойдет работать учителем в школу равна:

 

 

 

Задача №5

В коробке находится 7 или 8 елочных игрушек, причем вероятность  того, что игрушек 8, равна 0,7. Известно, что 15% елочных игрушек содержит фосфор. Найти вероятность того, что в коробке ровно 5 игрушек не содержит фосфор.

 

Зная по условию задачи, что 15% игрушек содержит фосфор, а 100% - 15% = 85% - не содержит фосфор, перейдем к  вероятностям; вероятность того, что  некоторое количество игрушек содержит фосфор равна 0,15; вероятность того, что некоторое количество игрушек не содержит фосфор равна 0,85;

Исходные данные: общее  количество игрушек – 7 или 8, из них 5 не содержит фосфор; вероятность количества не содержащих фосфор игрушек по условию равна 0,85, соответственно вероятность количества содержащих фосфор игрушек равна:

1 – 0,85 = 0,15

Решение задачи находим, используя Бернулли:

   p=0,85  q =0,15

    p=0,85    q=0,15

Зная, что вероятность  нахождения в коробке восьми игрушек  равна 0,7, а семи игрушек равна 0,3, пересчитаем полученные вероятности:

Окончательно получаем: