Метод Жордана Гаусса

Суть метода Жордана-Гаусса состоит в приведении системы (1) к ступенчатому виду.

Допустим, что в системе (1) коэффициент при первом неизвестном a11≠0. Исключим сначала неизвестное x1 из всех уравнений системы (1), кроме первого Для этого прежде всего разделим обе части первого уравнения на коэффициент a11≠0, тогда получим новую систему, равносильную данной системе. Умножим теперь первое уравнение полученной системы на a21 и вычтем из второго уравнения. Затем умножим первое уравнение на a31 и вычтем из третьего уравнения и т.д. В результате получим новую систему, также равносильную данной системе.  

Разделим теперь второе уравнение полученной системы на первый коэффициент, затем умножим второе уравнение полученной системы последовательно на коэффициенты остальных уравнений и вычтем поочередно из соответствующих уравнений системы, кроме первого и второго. Продолжая этот процесс, мы придем к системе - треугольной.  

В случае треугольной системы из последнего уравнения находим xn=bn затем, подставляя значение xn в предыдущее уравнение, находим xn-1 и т.д.  

На каком-то шаге исключения неизвестных может появиться уравнение вида 0*x1+0*x2+...+0*xn, которому удовлетворяет любая совокупность чисел (x1,x2,...,xn). Поэтому такое уравнение можно отбросить.  

Может появиться такое уравнение вида  0*x1+0*x2+...+0*xn=b, где b≠0, которому не удовлетворяет ни одна из совокупностей чисел (x1,x2,...,xn). Это означает, что последнее уравнение, а вместе с ним и исходная система, решений не имеют, то есть система несовместна.  

Если уравнение последнего вида не появляется ни на каком шаге и процесс исключения остановился, то число уравнений будет или равно, или меньше числа неизвестных. В случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, система совместна и имеет единственное решение. Если же число уравнений меньше числа неизвестных, то система совместна и имеет бесконечно много решений. При этом выбираются базисные неизвестные, равные по количеству числу уравнений остальные неизвестные, называемые свободными, переносят в правые части всех уравнений. Придавая свободным переменным произвольные значения, находят значения базисных переменных через свободные.  

Пример 3: Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса:

Разделив 1-ю строку на 2, получим

Исключим теперь члены с х1 из 2-го и 3-го уравнений, вычитая из 2-й строки 1-ю, умноженную на 4, а из 3-й - 1-ю, умноженную на 3. Это дает

Разделим 2-ю и 3-ю строки соответственно на -14 и -1:

Умножим 2-ю строку на 13 и вычтем из 3-й:

Разделим, наконец, 3-ю строку на -5:

Тогда решением является x3=4, x2=3, x3=-1,x1=10-4x2-3x3=2  

Здесь имеет место случай, когда число уравнений равно числу неизвестных, и решение единственно